知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知二次函数\(f(x)=ax^{2}+bx+c(a,b,c∈R)\)对任意实数\(x\)，都有\(x\leqslant f(x)\leqslant \dfrac {1}{4}(x+1)^{2}\)恒成立．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(f(1)=1\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(-1)=0\)，求\(f(x)\)的表达式；
\((\)Ⅲ\()\)在题\((\)Ⅱ\()\)的条件下设\(g(x)=f(x)- \dfrac {m}{2}x\)，\(x∈[0,+∞)\)，若\(g(x)\)图象上的点都位于直线\(y=- \dfrac {3}{4}\)的上方，求实数\(m\)的取值范围．

难度：较易

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2．
已知二次函数\(f(x)=x^{2}+2ax+2a+1\)，若对任意的\(x∈[-1,1]\)都有\(f(x)\geqslant 1\)恒成立，求\(a\)的范围．

难度：较易

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3．
已知函数 \(f(x)\)满足\(f(x+1)=x^{2}- \dfrac {1}{3}f(3)\)．
\((1)\)求\(f(x)\)解析式；
\((2)\)当\(x∈(-2,- \dfrac {1}{2})\)时，不等式\(f(a)+4a < (a+2)f(x^{2})\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：较易

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4．
若\(f(x)=x^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=0\) \(f(3)=0\) 求：
\(①b\)与\(c\)值；
\(②\)用定义证明\(f(x)\)在\((2,+∞)\)上为增函数．

难度：较易

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5．
设\(a\)为实数，函数\(f(x)=x^{2}+|x-a|+1\)，\(x∈R\)．
\((1)\)讨论\(f(x)\)的奇偶性；
\((2)\)若\(x\geqslant a\)，求\(f(x)\)的最小值．

难度：难

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6．
已知\(f(x)=x^{2}+2mx+(2m+1)\)．
\((1)\)若\(f(x)=0\)得两根分别为某三角形两内角的正弦值，求\(m\)的取值范围；
\((2)\)问是否存在实数\(m\)，使得\(f(x)=0\)的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)=-x^{2}+2x\tan θ+1\)，\(x∈[- \sqrt {3},1]\)，其中\(θ∈(- \dfrac {π}{2}, \dfrac {π}{2})\)．
\((1)\)当\(θ=- \dfrac {π}{4}\)时，求函数\(f(x)\)的最大值与最小值；
\((2)\)求\(θ\)的取值范围，使\(y=f(x)\)在区间\([- \sqrt {3},1]\)上是单调函数．

难度：较易

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8．
求函数\(y=-\cos ^{2}x+ \sqrt {3}\cos x+ \dfrac {5}{4}\)的最大值及最小值，并写出\(x\)取何值时函数有最大值和最小值．

难度：较易

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9．
函数\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=x^{2}-2x-1\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的函数解析式；
\((2)\)写出函数\(f(x)\)的单调区间及最值；
\((3)\)当关于\(x\)的方程\(f(x)=m\)有四个不同的解时，求\(m\)的取值范围．

难度：较难

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10．
已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2mx+2m+1=0\)有两个根，求满足下列条件的\(m\)的取值范围．
\((1)\)两个根都小于\(0\)；
\((2)\)其中一个根在区间\((-1,0)\)内，另一个根在区间\((1,2)\)内．

难度：中等

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