知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
若数列$\{A_{n}\}$对任意的$n∈N^{*}$，都有$A_{n+1}=A_{n}^{k}(k\neq 0)$，且$A_{n}\neq 0$，则称数列$\{A_{n}\}$为“$k$级创新数列”．
$(1)$已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+1}=2a_{n}^{2}+2a_{n}$且$a_{1}= \dfrac {1}{2}$，试判断数列$\{2a_{n}+1\}$是否为“$2$级创新数列”，并说明理由；
$(2)$已知正数数列$\{b_{n}\}$为“$k$级创新数列”且$k\neq 1$，若$b_{1}=10$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项积$T_{n}$；
$(3)$设$α$，$β$是方程$x^{2}-x-1=0$的两个实根$(α > β)$，令$k= \dfrac {β}{\alpha }$，在$(2)$的条件下，记数列$\{c_{n}\}$的通项$c_{n}=β^{n-1}\cdot \log _{b_{n}}T_{n}$，求证：$c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$，$n∈N^{*}$．

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2．

已知函数$f(x)=\log _{2}(a^{2x}+a^{x}-2)(a > 0)$，且$f(1)=2$；
$(1)$求$a$和$f(x)$的单调区间；
$(2)f(x+1)-f(x) > 2$．

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3．
已知函数$f(x)=\log _{2}(a^{2x}+a^{x}-2)(a > 0)$ ，且$f(1)=2$．

$(1)$求$a$和$f(x)$的单调区间；

$(2)$解不等式$f(x+1)-f(x) > 2$．

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4．计算：
（1） $%282%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%29%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%7D$ -（-9.6）⁰- $%283%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B8%7D%29%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%7D$ +（1.5）^-2；
（2）log₃ $%20%5Cfrac%20%7B%20427%20%7D%7B3%7D$ +lg25+lg4+7^log₇2．

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5．计算下列各式的值：
（1） $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%C3%97%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1.5%7D%C3%97%20%5Csqrt%5B6%5D%7B12%7D$ ；
（2）log₂25•log₃4•log₅9．

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6．
不用计算器计算：
$(1)\log _{3} \sqrt {27}+\lg 25+\lg 4+7\;^{\log _{7}2}+(-9.8)^{0}$；
$(2)( \dfrac {27}{8})\;^{- \frac {2}{3}}-( \dfrac {49}{9})^{0.5}+(0.008)\;^{- \frac {2}{3}}× \dfrac {2}{25}$．

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