知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）= $\text{[math]}$ （其中a＞0，a为常数），求函数f（x）的零点．

难度：中等

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2．设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N^* ， b，c∈R）
（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f_n（x）在区间（ $\text{[math]}$ ）内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设n=2，若对任意x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，均有|f₂（x₁）﹣f₂（x₂）丨≤4，求b的取值范围．

难度：中等

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3．设函数f（x）=3ax²+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（Ⅰ）求证：a＞0，且﹣2＜ $\text{[math]}$ ＜﹣1；
（Ⅱ）求证：函数y=f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点．

难度：中等

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4．函数f（x）=x²+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，试求a的取值范围．

难度：中等

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6．当a为何值时，函数y=7x²﹣（a+13）x+a²﹣a﹣2的一个零点在区间（0，1）上，另一个零点在区间（1，2）上？

难度：中等

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7．设函数f（x）=x $%C2%A0%5E%7B3%7D-%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B6x-a$ ．
（1）求f（x）的极值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=lg
2x
ax+b
，f（1）=0，且f（2）-f（
1
2
）=lg2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=f（x）-lg（8x+m）的无零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a
（1）求实数a的值，使f（x）在区间[-5，5]上的最小值为-1；
（2）已知函数g（x）=2x+
x+1
，对任意使g（x）有意义的实数x₁，总存在实数x₂，使g（x₁）=f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（-1）=
1
4
，求函数g（x）=f（x）+1的所有零点；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为-7，求实数a的值．

难度：中等

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