知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某休闲广场中央有一个半径为\(1(\)百米\()\)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形\((\)梯形\(ABCF\)和梯形\(DEFC)\)构成的六边形\(ABCDEF\)区域，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)都在圆周上，\(CF\)为圆的直径\((\)如图\().\)设\(∠AOF=θ\)，其中\(O\)为圆心．
\((1)\)把六边形\(ABCDEF\)的面积表示成关于\(θ\)的函数\(f(θ)\)；
\((2)\)当\(θ\)为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．

难度：较易

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2．
一片森林原来面积为\(a\)，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是\(10\)年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的\( \dfrac {1}{4}\)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，
\((1)\)求每年砍伐面积的百分比；
\((2)\)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
\((3)\)今后最多还能砍伐多少年？

难度：较易

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3．
某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润\((\)单位：万元\()\)分别为\(L_{1}=5.06x-0.15x^{2}\)和\(L_{2}=2x\)，其中\(x\)为销售量\((\)单位：辆\().\)若该公司在这两地共销售\(15\)辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？

难度：较易

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4．
某机构通过对某企业\(2016\)年的生产经营情况的调查，得到每月利润\(y(\)单位：万元\()\)与相应月份数\(x\)的部分数据如表：

\(x\) \(1\) \(4\) \(7\) \(12\)

\(y\) \(229\) \(244\) \(241\) \(196\)

\((1)\)根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述\(y\)与\(x\)的变化关系，并说明理由，\(y=ax^{3}+b\)，\(y=-x^{2}+ax+b\)，\(y=a⋅b^{x}\)．
\((2)\)利用\((1)\)中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．

难度：较易

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5．
某厂生产产品\(x\)件的总成本\(c(x)=1200+ \dfrac {2}{75}x^{3}(\)万元\()\)，已知产品单价\(P(\)万元\()\)与产品件数\(x\)满足：\(p^{2}= \dfrac {k}{x}\)，生产\(100\)件这样的产品单价为\(50\)万元．
\((1)\)设产量为\(x\)件时，总利润为\(L(x)(\)万元\()\)，求\(L(x)\)的解析式；
\((2)\)产量\(x\)定为多少件时总利润\(L(x)(\)万元\()\)最大？并求最大值\((\)精确到\(1\)万元\()\)．

难度：难

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6．
东海水晶制品厂去年的年产量为\(10\)万件，每件水晶产品的销售价格为\(100\)元，固定成本为\(80\)元\(.\)从今年起，工厂投入\(100\)万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入\(100\)万元科技成本\(.\)预计产量每年递增\(1\)万件，每件水晶产品的固定成本\(g(n)\)与科技成本的投入次数\(n\)的关系是\(g(n)= \dfrac {80}{ \sqrt {n+1}}.\)若水晶产品的销售价格不变，第\(n\)次投入后的年利润为\(f(n)\)万元．
\((1)\)求出\(f(n)\)的表达式；
\((2)\)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

难度：中等

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7．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用\(20\)年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为\(3\)万元\(.\)该建筑物每年的能源消耗费用\(C(\)单位：万元\()\)与隔热层厚度\(x(\)单位：\(cm)\)满足关系：\(C(x)= \dfrac {k}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant 10)\)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为\(4\)万元\(.\)设\(f(x)\)为隔热层建造费用与\(20\)年的能源消耗费用之和．
\((1)\)求\(k\)的值及\(f(x)\)的表达式．
\((2)\)隔热层修建多厚时，总费用\(f(x)\)达到最小，并求最小值．

难度：较易

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8．
某公司生产一种电子仪器的固定成本为\(20000\)元，每生产一台仪器需增加投入\(100\)元，已知总收益函数为\(R(x)= \begin{cases} 400x- \dfrac {1}{2}x^{2},0\leqslant x\leqslant 400 \\ 80000,x > 400\end{cases}\)，其中\(x\)是仪器的产量\((\)单位：台\()\)；
\((1)\)将利润\(f(x)\)表示为产量\(x\)的函数\((\)利润\(=\)总收益\(-\)总成本\()\)；
\((2)\)当产量\(x\)为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

难度：较易

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9．
如图，互相垂直的两条公路\(AP\)、\(AQ\)旁有一矩形花园\(ABCD\)，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园\(AMN\)，要求点\(M\)在射线\(AP\)上，点\(N\)在射线\(AQ\)上，且直线\(MN\)过点\(C\)，其中\(AB=36\)米，\(AD=20\)米\(.\)记三角形花园\(AMN\)的面积为\(S\)．
\((\)Ⅰ\()\)问：\(DN\)取何值时，\(S\)取得最小值，并求出最小值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(S\)不超过\(1764\)平方米，求\(DN\)长的取值范围．

难度：易

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10．
某厂生产某种零件，每个零件的成本为\(40\)元，出厂单价定为\(60\)元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过\(100\)个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低\(0.02\)元，但实际出厂单价不能低于\(51\)元．
\((1)\)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为\(51\)元？
\((2)\)设一次订购量为\(x\)个，零件的实际出厂单价为\(P\)元，写出函数\(P=f(x)\)的表达式；
\((3)\)当销售商一次订购\(500\)个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购\(1000\)个，利润又是多少元？\((\)工厂售出一个零件的利润\(=\)实际出厂单价\(-\)成本\()\)

难度：较难

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\(x\)	\(1\)	\(4\)	\(7\)	\(12\)
\(y\)	\(229\)	\(244\)	\(241\)	\(196\)