知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e，（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）设g（x）=lnx+
1
x
-e，若函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=4^x-a•2^x+1-6，x∈[0，1]，
（1）若函数有零点，求a的取值范围；
（2）若不等式f（x）+3a+6≥0恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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4．已知条件p：函数f（x）=x²-ax+4有零点；条件q：函数g（x）=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若条件p，q中有且只有一个成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（0＜ω＜3，0＜φ＜
π
2
）的一系列对应值如下表：
x -
π
3
-
π
12
0
π
6

5π
12

2π
3

11π
12
f（x） -1 1 2 3 1 -1 1
（1）根据表格提供的数据求函败y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；
（3）函数y=mf（x）-1在（-
π
12
，
π
3
）上有零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．已知[1+log_（y+1）（
sinx
1+sinx
）]•[log_（4+sinx）（y+1）]=1．
（1）试将y表示为x的函数y=f（x），并求出定义域和值域；
（2）是否存在实数m，使得函数g（x）=mf（x）-
f(x)
+1有零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．解下列方程：
（1）log₂（4-x）-log₄（x-1）=1；
（2）2lg（2x-1）=lg（-2x+7）+lg（x+1）．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=x（e^x+2x-1）+
1
2
．
（1）求证：函数F（x）=f（x）-x³-
1
2
仅有一个零点；
（2）记max{a，b}表示a，b中更大的数，比如max{3，-1}=3，max{
2
，
2
}=
2
．设g（x）=ln|x|-|x|+1，h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0），求证：h（x）＞
3e-8
8e
．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=a²x²+ax在区间（0，1）上有零点，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．解方程：
（1）
1+3-x
1+3x
=3；
（2）log₄（3x-1）=log₄（x-1）+log₄（3+x）．

难度：中等

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