知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）解不等式 $%20%5Cfrac%20%7B2x%2B1%7D%7B3-x%7D%E2%89%A51$
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7By%7D$ 的最小值．

难度：较易

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2．已知x＞0，y＞0，且2x+y=6，求4x²+y²的最小值．

难度：易

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3．已知实数a，b满足a+b=1．
（Ⅰ）求证： $a%5E%7B3%7D%2Bb%5E%7B3%7D%C2%A0%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ；
（Ⅱ）若至少存在一个实数x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，求实数2a+3b的取值范围．

难度：较易

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4．探究函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ ，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ ，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在 ______ 上递增；
（2）当x= ______ 时， $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ ，（x＞0）的最小值为 ______ ；
（3）试用定义证明 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ ，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D$ ，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？

难度：中等

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5．设f（x）=（m+1）x²-mx+m-1．
（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为 $%28%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A03%29$ ，求m的值．

难度：较易

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6．有60m长的钢材，要制作如图所示的窗框：
（1）求窗框面积y与窗框宽x的函数关系；
（2）当窗框宽为多少米时，面积y有最大值？最大值是多少？

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当a=1时，若对任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范围．

难度：中等

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8．（1）解不等式：|x-1|+|x-2|≤2．
（2）求函数y=x
1-x2
(0＜x＜1)的最大值．

难度：中等

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9．已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
7
2
（x²+y²+z²）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．
（Ⅰ）求证：（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）≥（a+b）²，并指出“=”成立的条件；
（Ⅱ）求函数f（x）=
3
x2
+
9
1-3x2
（0＜x＜
1
3
）的最小值，并指出取最小值时x的值．

难度：中等

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