知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b∈（0，+∞），且2^a4^b=2．（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数x的取值范围．

难度：中等

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2．已知a，b∈（0，+∞），且2^a4^b=2．
（Ⅰ）求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ 的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式 $%7Cx-1%7C%2B%7C2x-3%7C%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ 成立，求实数x的取值范围．

难度：易

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3．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）若不等式f（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）≤2m+1（m＞0）的解集为[-2，2]，求实数m的值；
（2）对任意x，y∈R，求证：f（x）≤2^y+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B2%5E%7By%7D%7D$ +|2x+3|．

难度：较易

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4．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a³+b³＞a²b+ab²；
（2）已知a，b，c都是正数，求证： $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7Dc%5E%7B2%7D%2Bc%5E%7B2%7Da%5E%7B2%7D%7D%7Ba%2Bb%2Bc%7D$ ≥abc．

难度：中等

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5．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a²+b²+c²=1，m²+n²+p²=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明 $%20%5Cfrac%20%7Bm%5E%7B4%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bn%5E%7B4%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bp%5E%7B4%7D%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D$ ≥1．

难度：较易

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6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=（tanA+tanC，
3
），
n
=（tanAtanC-1，1），且
m
∥
n
．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

难度：较易

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7．已知定义在R上的函数f（x）=|x-m|+|x|，m∈N^*，存在实数x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：
4
α
+
1
β
≥
9
2
．

难度：较难

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8．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
（1）△AOB面积最小时l的方程；
（2）|PA||PB|最小时l的方程．

难度：难

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9．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²≥
1
3
．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜4；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求
m2+2
m
+
n2+1
n
的取值范围．

难度：中等

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