知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a²+2b²+c²=m，求ab+bc的最大值．

难度：中等

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2．已知 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值．

难度：中等

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3．求函数y= $\text{[math]}$ 的最值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax²+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
（3）当x＞-1时，求y= $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-21%7D%7Bx%2B1%7D$ 的最大值．

难度：中等

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5．求值：
（1） $%280.064%29%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%7D-%28-%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B9%7D%29%5E%7B0%7D%2B%5B%28-2%29%5E%7B3%7D%5D%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D%7D%2B16%5E%7B-0.75%7D$ ；
（2）设3^x=4^y=36，求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By%7D$ 的值．

难度：中等

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6．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（sinA， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（3，sinA+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7DcosA$ ）共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

难度：较易

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7．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

难度：中等

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8．（1）若a、b、m、n∈R⁺，求证： $%20%5Cfrac%20%7Bm%5E%7B2%7D%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bn%5E%7B2%7D%7D%7Bb%7D%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B%28m%2Bn%29%5E%7B2%7D%7D%7Ba%2Bb%7D$ ；
（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知 $x%E2%88%88%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B1-2x%7D$ 的最小值，并求出此时x的值．

难度：较易

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9．已知函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7Bx-3%7D%28x%EF%BC%9E3%29$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式 $f%28x%29%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7Bt%7D%7Bt%2B1%7D%2B7$ 恒成立，求实数t的取值范围．

难度：较易

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10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，点M在线段AB上．
（1）若CM= $%20%5Csqrt%20%7B13%7D$ ，求AM的长；
（2）若点N在线段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面积最小值并求△MCN的最小面积时MN的长．

难度：中等

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