知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，且
1
a
+
2
b
=2．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．

难度：较难

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2．某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m²的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少．

难度：中等

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3．（2015秋•烟台期末）有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

难度：中等

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4．（2015秋•连云港期末）如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．
（1）若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm²，求相框一边的范围；
（2）若相框的面积为400cm²，求框内可放照片的最大面积．

难度：中等

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5．某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，增加产值200万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，增加产值300万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000万元，配套电能100万千瓦．
（Ⅰ）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为x，y（单位：百万元），请写出x，y所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；
（Ⅱ）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值．

难度：中等

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6．（2015秋•栖霞市期末）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100
3
米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．
（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；
（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？

难度：中等

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7．（2015秋•九江期末）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°（如图所示），考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9
3
m²，且髙度不低于
3
m．问防洪堤横断面的腰长AB为多少时，横断面的外周长AB+BC+CD最小，并求最小外周长：

难度：较难

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8．有60m长的钢材，要制作如图所示的窗框：
（1）求窗框面积y与窗框宽x的函数关系；
（2）当窗框宽为多少米时，面积y有最大值？最大值是多少？

难度：中等

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9．要建一间地面为25cm²，墙高为3m的长方体形的简易工棚．已知工棚屋顶每1cm²的造价为500元，墙壁每1m²的造价为400元．问怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？

难度：中等

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10．建造一个容积为240m³，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m²，池底的造价为350元/m²，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？

难度：中等

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