知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=x^{2}+ax+6\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=5\)时，解不等式\(f(x) < 0\)；
\((\)Ⅱ\()\)若不等式\(f(x) > 0\)的解集为\(R\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：易

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2．
已知\(a > 0\)，试比较\( \dfrac {a^{2}+1}{a^{2}-1}\)与\( \dfrac {a+1}{a-1}\)的值的大小．

难度：易

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3．

已知\(|x_{1}-2| < 1\)，\(|x_{2}-2| < 1\)，\({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\)

\((1)\)求证：\(2 < x\)\({\,\!}_{1}\)\(+x\)\({\,\!}_{2}\)\( < 6\)，\(|x\)\({\,\!}_{1}\)\(-x\)\({\,\!}_{2}\)\(| < 2;\)

\((2)\)若\(f(x)=x\)\({\,\!}^{2}\)\(-x+1\)，求证：\(|x\)\({\,\!}_{1}\)\(-x\)\({\,\!}_{2}\)\(| < |f(x\)\({\,\!}_{1}\)\()-f(x\)\({\,\!}_{2}\)\()| < 5|x\)\({\,\!}_{1}\)\(-x\)\({\,\!}_{2}\)\(|.\)

难度：难

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4．

解关于\(x\)的不等式\(mx^{2}+(2m-1)x-2 > 0(m∈R)\)．

难度：中等

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5．

设不等式\(|2x-1| < 1\)的解集为\(M\)，且\(a\in M,b\in M\)．

\((1)\)试比较\(ab+1\)与\(a+b\)的大小；

\((2)\)设\(\max A\)表示数集\(A\)中的最大数，且\(h=\max \{\dfrac{2}{\sqrt{a}},\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}},\dfrac{2}{\sqrt{b}}\}\)，求\(h\)的范围．

难度：难

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6．已知函数\(f(x)=ax^{2}+bx-\ln x(a,b∈R)\)
\((\)Ⅰ\()\)设\(a\geqslant 0\)，求\(f(x)\)的单调区间
\((\)Ⅱ\()\) 设\(a > 0\)，且对于任意\(x > 0\)，\(f(x)\geqslant f(1).\)试比较\(\ln a\)与\(-2b\)的大小．

难度：难

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7．
\((1)\)若\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} & 2x-y\leqslant 0 \\ & x+y\leqslant \\ & x\geqslant 0 \\ \end{cases}\)，则\(2x+y\)的最大值为________．

\((2)\)若\(P=\dfrac{{{2017}^{2016}}+1}{{{2017}^{2017}}+1}\)，\(Q=\dfrac{{{2017}^{2017}}+1}{{{2017}^{2018}}+1}\)，则\(P\)和\(Q\)的大小关系为\(P\)________\(Q(\)用“\( > \)”、“\( < \)”或“\(=\)”填空\()\)．

\((3)\)等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{2}+a_{4}+a_{9}=24\)，则\(\dfrac{{{S}_{8}}}{8}\cdot \dfrac{{{S}_{10}}}{10}\)的最大值为________．

\((4)\)在等边三角形\(ABC\)中，\(P\)为三角形\(ABC\)内一动点，且\(∠BPC=120^{\circ}\)，则\(\dfrac{PA}{PC}\)的最小值为________．

难度：较难

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8．已知\(\tan α, \dfrac {1}{\tan α}\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-kx+k^{2}-3=0\)的两个实根，且\(3π < α < \dfrac {7}{2}π\)，求\(\cos α+\sin α\)的值．

难度：较易

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9．
已知\(p\)：方程\(x^{2}+mx+1=0\)有两个不等的负实根，\(q\)：方程\(4x^{2}+4(m-2)x+1=0\)无实根\(.\)若“\(p\)或\(q\)”为真，“\(p\)且\(q\)”为假\(.\)求实数\(m\)的取值范围．

难度：较易

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