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          共50条信息

            • 1．
              对于正整数集合\(A=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}\}\) \((\)\(n\in {{N}^{*}}\) ，\(n\geqslant 3\) \()\)，如果去掉其中任意一个元素\({{a}_{i}}\) \((\)\(i=1,2,\cdots ,n\) \()\)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合\(A\) 为“和谐集”．
              \((\)Ⅰ\()\)判断集合\(\{1,2,3,4,5\}\) 是否是“和谐集”\((\)不必写过程\()\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：若集合\(A\) 是“和谐集”，则集合\(A\) 中元素个数为奇数；

              \((\)Ⅲ\()\)若集合\(A\)是“和谐集”，求集合\(A\)中元素个数的最小值．

              难度：中等
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            • 2．
              对于正整数集合\(A=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}(n∈N^{*}\)，\(n\geqslant 3)\)，如果去掉其中任意一个元素\(a_{i}(i=1,2,…,n)\)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合\(A\)为“和谐集”．
              \((\)Ⅰ\()\)判断集合\(\{1,2,3,4,5\}\)是否是“和谐集”\((\)不必写过程\()\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：若集合\(A\)是“和谐集”，则集合\(A\)中元素个数为奇数；
              \((\)Ⅲ\()\)若集合\(A\)是“和谐集”，求集合\(A\)中元素个数的最小值．
              难度：中等
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            • 3．
              已知集合\(A=\{a_{1},a_{2},…a_{n}\}(n∈N^{*})\)，规定：若集合\(A_{1}∪A_{2}∪…∪A_{m}=A(m\geqslant 2,m∈N^{*})\)，则称\(\{A_{1},A_{2},…,A_{m}\}\)为集合\(A\)的一个分拆，当且仅当：\(A_{1}=B_{1}\)，\(A_{2}=B_{2}\)，\(…A_{m}=B_{m}\)时，\(\{A_{1},A_{2},…,A_{m}\}\)与\(\{B_{1},B_{2},…,B_{m}\}\)为同一分拆，所有不同的分拆种数记为\(f_{n}(m).\)例如：当\(n=1\)，\(m=2\)时，集合\(A=\{a_{1}\}\)的所有分拆为：\(\{a_{1}\}∪\{a_{1}\}\)，\(\{a_{1}\}∪\varnothing \)，\(\varnothing ∪\{a_{3}\}\)，即\(f_{1}(2)=3\)．
              \((1)\)求\(f_{2}(2)\)；
              \((2)\)试用\(m\)、\(n\)表示\(f_{n}(m)\)；
              \((3)\)证明：\( \sum\limits_{i=1}^{m}f_{n}(i)\)与\(m\)同为奇数或者同为偶数\((\)当\(i=1\)时，规定\(f_{n}(1)=1)\)
              难度：较易
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            • 4．

              设集合\(A\)、\(B\)均为实数集\(R\)的子集，记：\(A+B=\left\{ \left.a+b \right|a∈A,b∈B\right\} \)；

              \((1)\)已知\(A=\left\{0,1,2\right\} \)，\(B=\left\{-1,3\right\} \)，试用列举法表示\(A+B\)；

              \((2)\)设\({a}_{1}= \dfrac{2}{3} \)，当\(n∈{N}^{*} \)，且\(n\geqslant 2 \)时，曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{n}^{2}-n+1}+ \dfrac{{y}^{2}}{1-n}= \dfrac{1}{9} \)的焦距为\({a}_{n} \)，如果\(A=\left\{{a}_{1},{a}_{2},···,{a}_{n}\right\} \)，\(B=\left\{- \dfrac{1}{9},- \dfrac{2}{9},- \dfrac{2}{3}\right\} \)，设\(A+B\)中的所有元素之和为\({S}_{n} \)，对于满足\(m+n=3k\)，且\(m\neq n \)的任意正整数\(m\)、\(n\)、\(k\)，不等式\({S}_{m}+{S}_{n}-λ{S}_{k} > 0 \)恒成立，求实数\(λ \)的最大值；

              \((3)\)若整数集合\({A}_{1}⊆{A}_{1}+{A}_{1} \)，则称\({A}_{1} \)为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合\({A}_{2} \)的某个非空有限子集中所有元素的和，则称\({A}_{2} \)为“\(N\)的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是\({N}^{*} \)的基底集？请说明理由；

              难度：较难
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            • 5．
              已知数集\(M=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}(0\leqslant a_{1} < a_{2} < … < a_{n}\)，\(n\geqslant 2)\)具有性质\(P\)：对任意的\(i\)，\(j(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)\)，\(a_{i}+a_{j}\)与\(a_{j}-a_{i}\)两数中至少有一个属于\(M\)．
              \((\)Ⅰ\()\)分别判断数集\(\{0,1,3\}\)与\(\{0,2,3,5\}\)是否具有性质\(P\)，并说明理由；
              \((\)Ⅱ\()\)证明：\(a_{1}=0\)，且\(a_{n}= \dfrac {2}{n}(a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n})\)；
              \((\)Ⅲ\()\)当\(n=5\)时，证明：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)成等差数列．
              难度：中等
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