知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设集合\(A\)中含有三个元素\(3\)，\(x\)，\(x^{2}-2x\)．
\((1)\)求实数\(x\)应满足的条件；
\((2)\)若\(-2∈A\)，求实数\(x\)．

难度：易

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2．
已知集合\(A=\{x|x=m^{2}-n^{2},m∈Z,n∈Z\}.\)求证：
\((1)3∈A\)；
\((2)\)偶数\(4k-2(k∈Z)\)不属于\(A\)．

难度：易

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3．
设\(S=\{x|x=m+n \sqrt {2},m\)、\(n∈Z\}\)．
\((1)\)若\(a∈Z\)，则\(a\)是否是集合\(S\)中的元素？
\((2)\)对\(S\)中的任意两个\(x_{1}\)、\(x_{2}\)，则\(x_{1}+x_{2}\)、\(x_{1}⋅x_{2}\)是否属于\(S\)？

难度：易

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4．
已知集合\(X=\{x_{1},x_{2},…,x_{8}\}\)是集合\(S=\{2001,2002,2003,…,2016,2017\}\)的一个含有\(8\)个元素的子集．
\((\)Ⅰ\()\)当\(X=\{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017\}\)时，
设\(x_{i}\)，\(x_{j}∈X(1\leqslant i,j\leqslant 8)\)，
\((i)\)写出方程\(x_{i}-x_{j}=2\)的解\((x_{i},x_{j})\)；
\((ii)\)若方程\(x_{i}-x_{j}=k(k > 0)\)至少有三组不同的解，写出\(k\)的所有可能取值．
\((\)Ⅱ\()\)证明：对任意一个\(X\)，存在正整数\(k\)，使得方程\(x_{i}-x_{j}=k(1\leqslant i,j\leqslant 8)\)至少有三组不同的解．

难度：中等

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5．已知集合\(M\)是由满足下列性质的函数\(f(x)\)的全体所组成的集合：在定义域内存在\(x_{0}\)，使得\(f(x_{0}+1)=f(x_{0})+f(1)\)成立．
\((1)\)指出函数\(f(x)= \dfrac {1}{x}\)是否属于\(M\)，并说明理由；
\((2)\)设函数\(f(x)=\lg \dfrac {a}{x^{2}+1}\)属于\(M\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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6．设集合\(B=\{x∈Z| \dfrac {6}{3-x}∈N\}\)．
\((1)\)试判断元素\(1\)，\(-1\)与集合\(B\)的关系；
\((2)\)用列举法表示集合\(B\)．

难度：易

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7．
集合\(A=\{x|-2\leqslant x\leqslant 5\}\)，\(B=\{x|m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\}\)．
\((1)\)若\(B⊆A\)，求实数\(m\)的取值范围；
\((2)\)当\(A\)中的元素\(x∈Z\)时，求\(A\)的非空真子集的个数；
\((3)\)当\(x∈R\)时，若\(A∩B=\varnothing \)，求实数\(m\)的取值范围．

难度：中等

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8．已知集合\(A\)的元素全为实数，且满足：若\(a∈A\)，则\( \dfrac {1+a}{1-a}∈A\)
\((1)\)若\(a=2\)，求出\(A\)中其他所有元素；
\((2)0\)是不是集合\(A\)中的元素？请你设计一个实数\(a∈A\)，再求出\(A\)中所有元素．

难度：难

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9．已知集合\(M\{h(x)|h(x)\)的定义域为\(R\)，且对任意\(x\)都有\(h(-x)=-h(x)\}\)设函数\(f(x)= \dfrac {-2^{x}+a}{2^{x+1}+b}(a,b\)为常数\()\)．
\((1)\)当\(a=b=1\)时，判断是否有\(f(x)∈M\)，说明理由；
\((2)\)若函数\(f(x)∈M\)，且对任意的\(x\)都有\(f(x) < \sin θ\)成立，求\(θ\)的取值范围．

难度：中等

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10．

设集合\(A=｛2\)，\(4\)，\(a^{3}-2a^{2}-a+7｝\)，\(B=｛1\)，\(5a-5\)，\(-\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{3}{2}a+4\)，\(a^{3}+a^{2}+3a+7｝.\)问是否存在\(a∈R\)，使\(A∩B=｛2\)，\(5｝?\)若存在，求出实数\(a\)的取值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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