知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x（a∈R）有两个不同的极值点m，n，（m＜n），且|m+n|+1≥|mn|．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当x∈[0，2]时，设函数y=mf（x）的最大值为g（m），求g（m）．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=
1
2
x2-2ax+1+lnx
（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x₁，证明：x₁lnx₁-ax₁²＞-1．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x（a+lnx）（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值．
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处切线的斜率为3，且2f（x）-（b+1）x+b＞0对任意x＞1都成立，求整数b的最大值．

难度：中等

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5．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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6．已知f（x）=2x+3-
ln(2x+1)
2x+1
．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1
，a∈R．
（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：
m-n
lnm-lnn
＜
m+n
2
．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=e^x（e=2.71828…），g（x）为其反函数．
（1）设点P（-1，0），求过点P且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（2）求函数F(x)=
x
g(x)
的单调区间及极值；并比较
2
ln
3
与
3
ln
2
的大小．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=e^x，g（x）=1nx+m．
（1）当m=-1时，求函数F（x）=
f(x)
x
+x•g（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）若m=2，求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞g（x）+
1
10
．
（参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099）

难度：中等

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10．已知函数f（x）=（x+1）e^x和函数g（x）=（e^x-a）（x-1）²（a＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；
（3）若函数g（x）存在极值为2a²，求a的值．

难度：较难

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