知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
1
2
x²+mlnx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，3），求m的值；
（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=lnx-ax在点A（2，f（2））处的切线l的斜率为
3
2
．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）．

难度：中等

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4．设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），证明：当a＞2时，函数g（x）在（0，+∞）上仅有一个零点；
（Ⅲ）若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．设a，b∈R，函数f（x）=ax²+lnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）证明：f（x）＜x³-2x²．

难度：中等

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6．（2015秋•宿迁期末）已知点P是函数y=1-x²的图象上位于第一象限内的一动点，过点P作此函数图象
的切线l，直线l与x，y轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，设点P的横坐标
为t，△AOB的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）表达式及定义域；
（2）求f（t）取最小值时切线l的方程．

难度：中等

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7．已知曲线C1：y=x2与C2：y2=x在第一象限内的交点为P．
（1）求过点P且与曲线C₁相切的直线方程l；
（2）求l与曲线C₂所围图形的面积S．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x³，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）

难度：较难

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9．已知函数f（x）=（x-1）²，其图象在点（0，1）处的切线为l．
（1）求y=f（x）、直线l及x=3轴围成图形的面积；
（2）求y=f（x）、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=x²+xlnx．
（1）求f′（x）；
（2）求函数f（x）图象上的点P（1，1）处的切线方程．

难度：较难

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