知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．
（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．设g（x）=lnx+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%7D$ ，
（1）求a的值；
（2）对任意x₁＞x₂＞0， $%20%5Cfrac%20%7Bg%28x_%7B1%7D%29-g%28x_%7B2%7D%29%7D%7Bx_%7B1%7D-x_%7B2%7D%7D$ ＜1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）讨论方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的个数．

难度：中等

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3．某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元．
（1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？

难度：较易

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4．设函数 $f%28x%29%3Dln%28x%2B1%29-%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Bx%2B1%7D%28a%E2%88%88R%29$ ．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=- $%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bx%7D$ （a＞0）
（1）若a=l，求f（x）的极值；
（2）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=-2xlnx+x²-2ax+a²．记g（x）为f（x）的导函数．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+y+3=0，求a的值；
（2）讨论g（x）=0的解的个数；
（3）证明：对任意的0＜s＜t＜2，恒有 $%20%5Cfrac%20%7Bg%28s%29-g%28t%29%7D%7Bs-t%7D$ ＜1．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=ax+ $%20%5Cfrac%20%7B2a-1%7D%7Bx%7D$ +1-3a（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程（写成一般式）．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥（1-a）lnx在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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8．如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ，∠BCN= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．
（1）求A，B两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

难度：较易

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9．已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a∈R），g（x）=e^x-x-1．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈[1，+∞），存在x₀∈R，使得f（x）≥g（x₀）成立，求a的取值范围．

难度：难

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10．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取得极值？证明你的结论；
（2）设g（x）=（a-2）x，若∃x₀∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D$ ，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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