知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f（x）=ax-lnx，F（x）=e^x+ax，其中x＞0，a＜0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）内具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若 $a%E2%88%88%28-%E2%88%9E%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%5E%7B2%7D%7D%5D$ ，且函数g（x）=xe^ax-1-2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．

难度：中等

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2．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%2Bklnx$ ，k≠0．
（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）切线斜率中的最大值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

难度：较易

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3．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B2%282-a%29%7D%7Bx%7D%2B%28a%2B2%29lnx-ax-2$ ．
（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知a=1，函数 $g%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D-4bx-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．若对任意x₁∈（0，e]，都存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=e^1-x（-a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ）=0，证明：对于∀x∈[-1， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ]，总有f（-x-1）+2f′（x）•cos（-x-1）＞0．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=（lnx-k-1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e²]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁x₂＜e^2k．

难度：较易

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6．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Blnx%7D$ -ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）已知f′（x）表示f（x）的导数，若∃x₁，x₂∈[e，e²]（e为自然对数的底数），使f（x₁）-f′（x₂）≤a成立，求实数a的取值范围．

难度：难

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7．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m²，1百元/m²，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ），问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=x-lnx+a-1，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +ax-xlnx，其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，g（x）的最小值大于 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ -lna，求a的取值范围．

难度：较易

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9．已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ ＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：较难

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10．某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA₁，CA₂，…，CA_n所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圓环及金厲杆均不计粗细）
（1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长？
（2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移．

难度：中等

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