知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在各项均为正数的数列{a_n}中，数列的前n项和为S_n，满足S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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2．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足2S_n=3a_n- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想通项公式an（不用证明）；
（2）设b_n=1+2log₃（2a_n），求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B1%7Db_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7Db_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7Db_%7Bn%2B1%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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3．
已知：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=7$，$a_{n+1}= \dfrac {7a_{n}}{a_{n}+7}$，
$(1)$请写出这个数列的前$4$项，并猜想这个数列的通项公式．
$(2)$请证明你猜想的通项公式的正确性．

难度：难

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4．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃并由此猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

难度：较易

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5． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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6．设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cq%3D-%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=4m+1（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如不存在，说明理由．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的通项公式是 $a_%7Bn%7D%3D%28-1%29%5E%7Bn%7D%2Bn$ ，写出数列{a_n}的前5项．

难度：较易

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8．数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）
（1）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（2）若数列{x_n}是递增数列，求c的取值范围．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）
（1）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（2）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（3）记f(n)=
1
2
(
|sinn|
sinn
+3)，Tn=
(-1)f(2)
a1a2
+
(-1)f(3)
a3a4
+
(-1)f(4)
a5a6
+…+
(-1)f(n+1)
a2n-1a2n
，求T_n的最值．

难度：较难

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

难度：中等

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