知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n}}\)，设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((3)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和．

难度：较难

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2．
数列\(\{ a_{n}\}\)满足\({S}_{n}=2n−{a}_{n}(n∈{N}^{∗}) \)
\((1)\)计算\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较难

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3．数列\(\{a_{n}\}\)满足\({S}_{n}=2n-{a}_{n}\left(n∈{N}^{*}\right) \)
\((1)\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：难

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4．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{n}=2-S_{n}(n∈N^{*}).\)
\((\)Ⅰ\()\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值并写出其通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)用三段论证明数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列．

难度：较易

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5．
在各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)中，数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(S_{n}=1-na_{n}(n∈N^{*})\)
\((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；
\((2)\)由\((1)\)猜想出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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6．
数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(A_{n}=n^{2}+bn\)，数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列，公比\(q > 0\)，且满足\(a_{1}=b_{1}=2\)，\(b_{2}\)，\(a_{3}\)，\(b_{3}\)成等差数列；
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=b_{n}+ \dfrac {1}{A_{n}}\)，求\(c_{n}\)的前\(n\)项和．

难度：中等

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7．
数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)中，若\(S\)\({\,\!}_{n}\)\(=\)\(n\)\({\,\!}^{2}-2\)，\(n\)\(∈N^{*}\)，则\(a_{n}\)\(= \)______．

难度：中等

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8．
若数列\(\{{{a}_{n}}\}\)和\(\{{{b}_{n}}\}\)的项数均为\(m\)，则将数列\(\{{{a}_{n}}\}\)和\(\{{{b}_{n}}\}\)的距离定义为\(\sum\limits_{i=1}^{m}{|{{a}_{i}}-{{b}_{i}}|}\) ．

\((1)\)求数列\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(6\)和数列\(2\)，\(3\)，\(10\)，\(7\)的距离．

\((2)\)记\(A\)为满足递推关系\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1+{{a}_{n}}}{1-{{a}_{n}}}\)的所有数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的集合，数

难度：难

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9．
在等差数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)中，公差\(d\)\(\neq 0\)，\(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，且\(a\)\({\,\!}_{1}\)，\(a\)\({\,\!}_{2}\)，\(a\)\({\,\!}_{5}\)成等比数列．
\((1)\)求数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；
\((2)102\)是不是这个数列中的项，若是是第几项？若不是，说明理由。

难度：中等

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