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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对任意的\(n∈N*\)，均有\(S_{n}=a_{n+k}-k(k\)是常数，且\(k∈N*)\)成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”．
              \((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(1)\)数列”，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(2)\)数列”，且\(a_{2}\)为整数，试问：是否存在数列\(\{a_{n}\}\)，使得\(|a \;_{ n }^{ 2 }-a_{n-1}a_{n+1}|\leqslant 40\)对一切\(n\geqslant 2\)，\(n∈N*\)恒成立？如果存在，求出这样数列\(\{a_{n}\}\)的\(a_{2}\)的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
              \((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”，且\(a_{1}=a_{2}=…=a_{k}=1\)，证明：\(a_{n+2k}\geqslant (1+ \dfrac {1}{2^{k-1}})^{n-k}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}-(n+1)a_{n}=1(n∈N_{+})\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{2}\cdot ( \dfrac {8}{9})^{n}(n∈N_{+})\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的最大项．
              难度：难
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            • 3．
              数列\(\{a_{n}\}\)是公差为正数的等差数列，\(a_{2}\)和 \(a_{5}\)是方程\(x^{2}-12x+27=0\) 的两实数根，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(3^{n-1}b_{n}=na_{n+1}-(n-1)a_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{n}\)与\(b_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(T_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\(T_{n}\)，并求\(T_{n} < 7\) 时\(n\)的最大值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)为等比数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(a_{1}+a_{4}=- \dfrac {7}{16}\)，且对于任意的\(n∈N^{*}\)有\(S_{n}\)，\(S_{n+2}\)，\(S_{n+1}\)成等差数列；
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(b_{n}=n(n∈N_{+})\)，记\(T_{n}=| \dfrac {b_{1}}{a_{1}}|+| \dfrac {b_{2}}{a_{2}}|+| \dfrac {b_{3}}{a_{3}}|+…+| \dfrac {b_{n}}{a_{n}}|\)，若\((n-1)^{2}\leqslant m(T_{n}-n-1)\)对于\(n\geqslant 2\)恒成立，求实数\(m\)的范围．
              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\( \dfrac {1}{a_{n}}= \dfrac {b_{1}}{2+1}- \dfrac {b_{2}}{2^{2}+1}+ \dfrac {b_{3}}{2^{3}+1}-…+(-1)^{n+1} \dfrac {b_{n}}{2^{n}+1}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(c_{n}=2^{n}+λb_{n}\)，问是否存在实数\(λ\)使得数列\(\{c_{n}\}(n∈N^{*})\)是单调递增数列？若存在，求出\(λ\)的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
              难度：中等
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            • 6． 数列{an}、{bn}满足：an+bn=2n-1，n∈N*．
              （1）若{an}的前n项和Sn=2n2-n，求{an}、{bn}的通项公式；
              （2）若an=k•2n-1，n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数k的取值范围．
              难度：较易
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            • 7． 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3，求：
              （1）第二项a2；
              （2）通项公式an．
              难度：易
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            • 8． 已知Sn是数列{an}的前n项和，点（n，Sn）满足f（x）=2x+1-k，且S3=14．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）令bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：较易
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            • 9． 设数列{an}满足：a1=0，an+1=an+（n+1）3n．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              4an+3
              4n
              ，求数列{bn}中的最大项的值．
              难度：中等
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            • 10． 已知数列{an}前n项的和为Sn，且有Sn+1=kSn+2  （n∈N*），a1=2，a2=1．
              （1）试证明：数列{Sn-4}是等比数列，并求an；
              （2）∀n∈N*，不等式
              atSn+1-1
              atan+1-1
              ＜
              1
              2
              恒成立，求正整数t的值；
              （3）试判断：数列{an}中任意两项的和在不在数列{an}中？请证明你的判断．
              难度：中等
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