知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=3a_n-6n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=
an
λn
，其中常数λ＞0，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

难度：中等

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2．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}是无穷数列，a₁=a，a₂=b（a，b是正整数），an+1=
an
an-1
(
an
an-1
＞1)
，
an-1
an
(
an
an-1
≤1)
．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=1，写出a₄，a₅的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}中ak=1(k∈N*)，求证：数列{a_n}中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{a_n}中任何一项都不等于1，记b_n=max{a_2n-1，a_2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b_n}是单调递减数列．

难度：较难

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4．设数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4an+3
4n
，求数列{b_n}中的最大项的值．

难度：中等

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5．已知正数数列{x_n}满足x₁=
1
2
，x_n+1=
1
1+xn
，n∈N^*．
（1）求x₂，x₄，x₆．
（2）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

难度：中等

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6．在数列{a_n}中，a1=
2
，且对任意n∈N^*，都有an+1=
a
2
n
+2
3
．
（1）计算a₂，a₃，a₄，由此推测{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若bn=(-2)n(an4-an2)(n∈N*)，求无穷数列{b_n}的各项之和与最大项．

难度：中等

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7．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．

难度：较难

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8．已知在等差数列{a_n}中，a₁=-31，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₁₀=S₂₂．
（1）求{a_n}的通项公式，并判断2015是否是数列{a_n}的项；
（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？

难度：中等

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9．各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=
3n2+n
2
(n∈N+)．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n+（-1）ⁿb_n，求数列{c_n}的前n项和U_n；
（3）令d_n=
bn
an
（n∈N⁺），数列{d_n}的前n项和为T_n，若T_n≥t²+t恒成立，求t的取值范围．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}通项公式为a_n=At^n-1+Bn+1，其中A，B，t为常数，且t＞1，n∈N^*．等式（x²+x+2）¹⁰=b₀+b₁（x+1）+b₂（x+1）²+…+b₂₀（x+1）²⁰，其中b_i（i=0，1，2，…，20）为实常数．
（1）若A=0，B=1，求
10
n=1
a_nb_2n的值；
（2）若A=1，B=0，且
10
n=1
（2a_n-2ⁿ）b_2n=2¹¹-2，求实数t的值．

难度：较难

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