知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知公差不为零的等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=5$，且$a_{3}$，$a_{6}$，$a_{11}$成等比数列．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$设$b_{n}=a_{n}\cdot 3^{n-1}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：较易

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2．
已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和味$S_{n}$，$a_{1} > 0$，$a_{1}⋅a_{2}= \dfrac {3}{2}$，$S_{5}=10$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$记数列$b_{n}= \begin{cases} \overset{2^{a_{n}},n{为奇数}}{a_{n},n{为偶数}}\end{cases}$，求数$\{b_{n}\}$的前$2n+1$项和$T_{2n+1}$．

难度：较易

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3．
已知数列$\{a_{n}\}$是各项均不为$0$的等差数列，公差为$d$，$S_{n}$为其前$n$项和，且满足$a_{n}^{2}=S_{2n-1}$，$n∈N^{*}.$数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}$，$T_{n}$为数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式和$T_{n}$；
$(2)$是否存在正整数$m$，$n(1 < m < n)$，使得$T_{1}$，$T_{m}$，$T_{n}$成等比数列？若存在，求出所有$m$，$n$的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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4．
在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，其前$n$项和为$S_{n}$，等比数列$\{b_{n}\}$的各项均为正数，$b_{1}=1$，公比为$q$，且$b_{2}+S_{2}=12,q= \dfrac {S_{2}}{b_{2}}$．
$(I)$求$a_{n}$与$b_{n}$；
$(II)$设$T_{n}=a_{n}b_{1}+a_{n-1}b_{2}+…+a_{1}b_{n},n∈N^{+}$，求$T_{n}$的值．

难度：较易

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5．
在等差数列$\{a_{n}\}$中$a_{5}=0$，$a_{10}=10$．
$($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$($Ⅱ$)$若数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=( \dfrac {1}{2})\;^{a_{n}+10}$，求数列$\{nb_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：中等

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6．
已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{b_{n}\}$是等比数列，满足$a_{1}=3$，$b_{1}=1$，$b_{2}+S_{2}=10$，$a_{5}-2b_{2}=a_{3}$．
$($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$通项公式；
$($Ⅱ$)$令$c_{n}= \begin{cases} \dfrac {2}{S_{n}},(n{为奇数}) \\ b_{n},(n{为偶数})\end{cases}$，设数列$\{c_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$，求$T_{n}$．

难度：较易

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7．
在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=-2$，$a_{12}=20$．
$($Ⅰ$)$求通项$a_{n}$；
$($Ⅱ$)$若$b_{n}= \dfrac {a_{1}+a_{2}+…a_{n}}{n}$，求数列$\{3^{b_{n}}\}$的前$n$项和．

难度：较易

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8．

已知数列$\{a_{n}\}$的前$9$项和为$153$，且点$P(a_{n},an+1)(n∈N*)$在直线$x-y+3=0$上．

$(1)$求数列$\{a_{n}\}$通项公式：

$(2)$从数列$\{a_{n}\}$中，依次取出第$2$项、第$8$项、第$24$项，$……$，第$n·2^{n}$项，按原来的顺序组成一个新的数列$\{b_{n}\}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：中等

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9．已知各项为正数的等差数列{a_n}满足 $a_%7B3%7D%5Ccdot%20a_%7B7%7D%3D32%EF%BC%8Ca_%7B2%7D%2Ba_%7B8%7D%3D12%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E4%B8%94%7Db_%7Bn%7D%3D2%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：较易

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10．数列{a_n}对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若 $b_%7Bn%7D%3D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D%2Bn$ ，求{b_n}的通项公式及前n项和．

难度：难

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