\((1) \overset{⇀}{a}=\left(x,3\right)\;,\; \overset{⇀}{b}=\left(2\;,\;-1\right) \) ，若\( \overset{⇀}{a} \)与\( \overset{⇀}{b} \)的夹角为锐角，则\(x\)的范围是________________．

\((2)\)数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式为\({a}_{n}=2n-1+ \dfrac{1}{{2}^{n}} \)，则数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \) 的前\(n\)项和为________________．

\((3)\) 若函数\(f\left(x\right)=\cos 2x+a\sin x \)在区间\(\left( \dfrac{π}{6}\;,\; \dfrac{π}{2}\right) \)上是减函数，则\(a\)的取值范围是________________．

\((4)\) 设函数\(y=\begin{cases}-{x}^{3}+{x}^{2}\;,\;x < e \\ a\ln x\;,\;x\geqslant e\end{cases} \)的图象上存在两点 \(P\)，\(Q\)，使得\(∆POQ \)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，且斜边的中点恰好在\(y\)轴上，则实数\(a\)的取值范围是________________．

已知\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为等差数列， \({{S}_{n}}\)为其前\(n\)项和，若\({{a}_{1}}=6,{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=0\)，当\({{S}_{n}}\)取最大值时， \(n=\)__________．

在等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\({a}_{1}=-2008 \)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(\dfrac{{S}_{12}}{12}- \dfrac{{S}_{10}}{10}=2 \)，则\(S_{2008}\)的值等于______ ．

设正项等比数列\(\{{a}_{n}\} \)的前\(n \)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(S_{3}=3\)，\(S_{9}-S_{6}=12\)，则\(S_{6}=\)       ．

\((1)\)以点\(M(2,0)\)、\(N(0,4)\)为直径的圆的标准方程为________．

\((2)\)在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n} > 0\)，\({{a}_{7}}=\dfrac{1}{2}{{a}_{4}}+4\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(S_{19}=\)________．

\((3)\)已知点\(P(a,b)\)在函数\(y=\dfrac{{{e}^{2}}}{x}\)上，且\(a > 1\)，\(b > 1\)，则\(a^{\ln b}\)的最大值为________．

\((4)\)已知双曲线\(C_{2}\)与椭圆\(C_{1}\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线\(C_{2}\)的离心率为________．