知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设各项均为正数的等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=1$，$S_{3}=7$．
$(1)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若数列$\{b_{n}\}\}$满足$b_{n}=na_{n}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较易

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2．
已知数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，$b_{n}-a_{n}=2^{n}+1$，且$S_{n}+T_{n}=2^{n+1}+n^{2}-2$．
$(1)$求$T_{n}-S_{n}$；
$(2)$求数列$\{ \dfrac {b_{n}}{2^{n}}\}$的前$n$项和$R_{n}$．

难度：较易

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3．
已知等差数列$\{a_{n}\}$和等比数列$\{b_{n}\}$中，$a_{1}=b_{1}=1$，$a_{2}=b_{2}$，$a_{4}+2=b_{3}$．
$($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$的通项公式；
$($Ⅱ$)$如果$a_{m}=b_{n}(n∈N^{*})$，写出$m$，$n$的关系式$m=f(n)$，并求$f(1)+f(2)+…+f(n)$．

难度：较易

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4．
已知：等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$
$(1)$写出数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$的公式；
$(2)$给出$(1)$中的公式的证明．

难度：较易

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5．
已知等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{4}$，$a_{3}$，$a_{5}$成等差数列，且$S_{k}=33$，$S_{k+1}=-63$．
$(1)$求$k$及$a_{n}$；
$(2)$求数列$\{na_{n}\}$的前$n$项和．

难度：较易

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6．已知各项为正数的等差数列{a_n}满足 $a_%7B3%7D%5Ccdot%20a_%7B7%7D%3D32%EF%BC%8Ca_%7B2%7D%2Ba_%7B8%7D%3D12%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E4%B8%94%7Db_%7Bn%7D%3D2%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：较易

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7．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1， $S_%7Bn%7D%2Ba_%7Bn%7D%3D2n%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（1）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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8．数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂|a_n|，T_n为数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D%5Ccdot%20b_%7Bn%2B1%7D%7D%5C%7D$ 的前n项和，求T_n．

难度：较易

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9．数列{a_n}对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若 $b_%7Bn%7D%3D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D%2Bn$ ，求{b_n}的通项公式及前n项和．

难度：难

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10．已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且有S_n+1=kS_n+2 （n∈N^*），a₁=2，a₂=1．
（1）试证明：数列{S_n-4}是等比数列，并求a_n；
（2）∀n∈N^*，不等式
atSn+1-1
atan+1-1
＜
1
2
恒成立，求正整数t的值；
（3）试判断：数列{a_n}中任意两项的和在不在数列{a_n}中？请证明你的判断．

难度：中等

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