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          共50条信息

            • 1．

              在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

              难度：难
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            • 2．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

              难度：难
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            • 3．

              \((1) \overset{⇀}{a}=\left(x,3\right)\;,\; \overset{⇀}{b}=\left(2\;,\;-1\right) \) ，若\( \overset{⇀}{a} \)与\( \overset{⇀}{b} \)的夹角为锐角，则\(x\)的范围是________________．

              \((2)\)数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式为\({a}_{n}=2n-1+ \dfrac{1}{{2}^{n}} \)，则数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \) 的前\(n\)项和为________________．

              \((3)\) 若函数\(f\left(x\right)=\cos 2x+a\sin x \)在区间\(\left( \dfrac{π}{6}\;,\; \dfrac{π}{2}\right) \)上是减函数，则\(a\)的取值范围是________________．

              \((4)\) 设函数\(y=\begin{cases}-{x}^{3}+{x}^{2}\;,\;x < e \\ a\ln x\;,\;x\geqslant e\end{cases} \)的图象上存在两点 \(P\)，\(Q\)，使得\(∆POQ \)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，且斜边的中点恰好在\(y\)轴上，则实数\(a\)的取值范围是________________．

              难度：中等
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            • 4．

              设数列\(1\)，\(1+2\)，\(1+2+2^{2}\)，\(…\)，\(1+2+2^{2}+…+2^{n-1}\)，\(\cdots \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{10}=\)________．

              难度：难
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            • 5．

              等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{n} > 0\)，\(q > 1\)，\(a_{3}+a_{5}=20\)，\(a_{2}a_{6}=64\)，则\(S_{5}=\)________．

              难度：较易
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            • 6．
              已知正项等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(S_{4}=1\)，\(S_{8}=17\)， \({a}_{n}= \)                       
              难度：难
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            • 7． 若等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=(a-2)⋅3^{n+1}+2\)，则常数\(a=\) ______ ．
              难度：易
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            • 8． 设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对于所有\(n\geqslant 1\)，\(S_{n}= \dfrac {a_{1}(3^{n}-1)}{2}\)，且\(a_{4}=54\)，则\(a_{1}=\)______．
              难度：易
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            • 9． 设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2^{n}-1\)，则\( \dfrac {S_{4}}{a_{3}}\)的值为 ______ ．
              难度：易
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            • 10． 设数列\(\{a_{n}\}\)首项\(a_{1}=2\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=3(n∈N^{*})\)，则满足\( \dfrac {34}{33} < \dfrac {S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac {16}{15}\)的所有\(n\)的和为______．
              难度：较易
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