在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

\((1) \overset{⇀}{a}=\left(x,3\right)\;,\; \overset{⇀}{b}=\left(2\;,\;-1\right) \) ，若\( \overset{⇀}{a} \)与\( \overset{⇀}{b} \)的夹角为锐角，则\(x\)的范围是________________．

\((2)\)数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式为\({a}_{n}=2n-1+ \dfrac{1}{{2}^{n}} \)，则数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \) 的前\(n\)项和为________________．

\((3)\) 若函数\(f\left(x\right)=\cos 2x+a\sin x \)在区间\(\left( \dfrac{π}{6}\;,\; \dfrac{π}{2}\right) \)上是减函数，则\(a\)的取值范围是________________．

\((4)\) 设函数\(y=\begin{cases}-{x}^{3}+{x}^{2}\;,\;x < e \\ a\ln x\;,\;x\geqslant e\end{cases} \)的图象上存在两点 \(P\)，\(Q\)，使得\(∆POQ \)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，且斜边的中点恰好在\(y\)轴上，则实数\(a\)的取值范围是________________．

​

    \((1)\)求出数列\(\{x_{n}\}\)，\(\{y_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\{x_{n}+y_{n}\}(n\leqslant 2016)\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

设等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的公比\(q=2\)，前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，则\(\dfrac{{{S}_{4}}}{{{a}_{2}}}=\)                     \((\)   \()\)

在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，公比\(q=2\)，前\(87\)项和\(S_{87}=140\)，则\(a_{3}+a_{6}+a_{9}+…+a_{87}\)等于\((\)　　\()\)

在等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{2}}+{{a}_{7}}=-23\)，\({{a}_{3}}+{{a}_{8}}=-29\)．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；      

\((2)\)设数列\(\{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}\}\)是首项为\(1\)，公比为\(q\)的等比数列，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

等比数列\(\{ a_{n}\}\)前四项和为\(1\)，前\(8\)项和为\(17\)，则它的公比为\(({  })\)