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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足：\(x_{1}=1\)，\(x_{n}=x_{n+1}+ \sqrt {x_{n+1}+1}-1\)．
              证明：当\(n∈N*\)时，
              \((1)0 < x_{n+1} < x_{n}\)；
              \((2)3x_{n+1}-2x_{n} < \dfrac {x_{n}x_{n+1}}{3}\)；
              \((3)( \dfrac {2}{3})^{n-1}\leqslant x_{n}\leqslant ( \dfrac {2}{3})^{n-2}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              在正项数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(1\leqslant a_{1}\leqslant 11\)，\(a_{n+1}^{2}=133-12a_{n}\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(1\leqslant a_{n}\leqslant 11\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=n(a_{2n-1}+a_{2n})\)，\(S_{n}\)表示数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和，求证：\(S_{n}\geqslant 6n(n+1)\)；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(a_{1}=8\)，设\(c_{n}=a_{2n-1}-a_{2n}\)，\(T_{n}\)表示数列\(\{c_{n}\}\)前\(n\)项和．
              \((i)\)比较\(a_{n}\)与\(7\)的大小；
              \((ii)\)求证：\(T_{n} < 13\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=3\)，且\(2S_{n}=a_{n+1}-3(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)对于正整数\(i\)，\(j\)，\(k(i < j < k)\)，已知\(λa_{j}\)，\(6a_{i}\)，\(μa_{k}\)成等差数列，求正整数\(λ\)，\(μ\)的值；
              \((3)\)设数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和是\(T_{n}\)，且满足：对任意的正整数\(n\)，都有等式\(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+a_{3}b_{n-2}+…+a_{n}b_{1}=3^{n+1}-3n-3\)成立\(.\)求满足等式\( \dfrac {T_{n}}{a_{n}}= \dfrac {1}{3}\)的所有正整数\(n\)．
              难度：中等
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            • 4．
              等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\( \dfrac {3}{2}\)，公比为\(- \dfrac {1}{2}\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则当\(n∈N*\)时，\(S_{n}- \dfrac {1}{S_{n}}\)的最大值与最小值的比值为\((\)　　\()\)
              A．\(- \dfrac {12}{5}\)
              B．\(- \dfrac {10}{7}\)
              C．\( \dfrac {10}{9}\)
              D．\( \dfrac {12}{5}\)
              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+ \dfrac {c}{a_{n}}(c > 0,n∈N*)\)，
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(a_{n+1} > a_{n}\geqslant 1\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若对任意\(n∈N*\)，都有\(a_{n}\geqslant (c- \dfrac {1}{2})n-1\)
              证明：\((ⅰ)\)对于任意\(m∈N*\)，当\(n\geqslant m\)时，\(a_{n}\leqslant \dfrac {c}{a_{m}}(n-m)+a_{m}\)
              \((ⅱ)a_{n}\leqslant \dfrac { \sqrt {5n-1}}{2}\)．
              难度：较易
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}= \dfrac {n^{2}+n}{2}\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(b_{1}=a_{1}+1\)，\(b_{2}-a_{2}=2\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求满足\(T_{n}+a_{n} > 300\)的最小的\(n\)值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知\(α\)为锐角，且\(\tan α= \sqrt {2}-1\)，函数\(f(x)=2x\tan 2α+\sin (2α+ \dfrac {π}{4})\)，数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n}).\)
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的表达式；
              \((2)\)求证：数列\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列；
              \((3)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：中等
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            • 8．
              设函数\(f(x)\)定义为如下数表，且对任意自然数\(n\)均有\(x_{n+1}=f(x_{n})\)，若\(x_{0}=6\)，则\(x_{2018}\)的值为\((\)　　\()\)
              \(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(…\)
              \(f(x)\) \(5\) \(1\) \(3\) \(2\) \(6\) \(4\) \(…\)
              A．\(1\)
              B．\(2\)
              C．\(4\)
              D．\(5\)
              难度：较易
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            • 9．
              已知集合\(A=\{x|x=2n-1,n∈N*\}\)，\(B=\{x|x=2^{n},n∈N*\}.\)将\(A∪B\)的所有元素从小到大依次排列构成一个数列\(\{a_{n}\}\)，记\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则使得\(S_{n} > 12a_{n+1}\)成立的\(n\)的最小值为 ______ ．
              难度：较易
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            • 10．
              设\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列，\(\{b_{n}\}\)是首项为\(b_{1}\)，公比为\(q\)的等比数列．
              \((1)\)设\(a_{1}=0\)，\(b_{1}=1\)，\(q=2\)，若\(|a_{n}-b_{n}|\leqslant b_{1}\)对\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)均成立，求\(d\)的取值范围；
              \((2)\)若\(a_{1}=b_{1} > 0\)，\(m∈N*\)，\(q∈(1, \sqrt[m]{2}]\)，证明：存在\(d∈R\)，使得\(|a_{n}-b_{n}|\leqslant b_{1}\)对\(n=2\)，\(3\)，\(…\)，\(m+1\)均成立，并求\(d\)的取值范围\((\)用\(b_{1}\)，\(m\)，\(q\)表示\()\)．
              难度：中等
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