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          共50条信息

            • 1．

              设各项均为正数的数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\(4{{S}_{n}}=a_{^{_{n+1}}}^{2}-4n-1\)，且\({{a}_{1}}=1\)，公比大于\(1\)的等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{2}}=3\)，\({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=10\)．

              \((1)\)求证数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，并求其通项公式；

              \((2)\)若\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{3{{b}_{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，若\({{c}_{n}}\leqslant {{t}^{2}}+\dfrac{4}{3}t-2\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

              难度：难
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            • 2．

              已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比\(q > 1\)，\(a_{1}=1\)，且\(2a_{2}\)，\(a_{4}\)，\(3a_{3}\)成等差数列．

              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)记\(b_{n}=2na_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：易
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            • 3．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差\(d\neq 0\)，它的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{5}=70\)，且\(a_{2}\)，\(a_{7}\)，\(a_{22}\)成等比数列．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设数列\(\left\{ \dfrac{1}{{S}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < \dfrac{3}{8} \)．

              难度：难
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            • 4．

              数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=(n^{2}+n-λ)a_{n}(n=1,2,…)\)，\(λ\)是常数．

              \((1)\)当\(a_{2}=-1\)时，求\(λ\)及\(a_{3}\)的值；

              \((2)\)是否存在实数\(λ\)使数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列？若存在，求出\(λ\)及数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；若不存在，请说明理由．

              难度：中等
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            • 5．

              若数列\(\left\{ {{\log }_{3}}{{a}_{n}} \right\}\)为等差数列，且\({{\log }_{3}}{{a}_{1}}+{{\log }_{3}}{{a}_{2}}+\cdots +{{\log }_{3}}{{a}_{10}}=10\)，则\({{a}_{5}}{{a}_{6}}=\)___________．

              难度：较易
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            • 6． 设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1} > 0\)且\(\dfrac{{{a}_{6}}}{{{a}_{5}}}=\dfrac{9}{11}\)，则当\(S_{n}\)取最大值时，\(n\)的值为\((\)   \()\)
              A．\(9\)
              B．\(10\)
              C．\(11\)
              D．\(12\)
              难度：较易
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            • 7．

              已知一组数据： \(a\)\({\,\!}_{1}\)， \(a\)\({\,\!}_{2}\)， \(a\)\({\,\!}_{3}\)， \(a\)\({\,\!}_{4}\)， \(a\)\({\,\!}_{5}\)， \(a\)\({\,\!}_{6}\)， \(a\)\({\,\!}_{7}\)构成公差为 \(d\)的等差数列，且这组数据的方差等于\(1\)，则公差\(d\)等于________．

              难度：中等
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            • 8．
              设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{2}a_{4}a_{6}a_{8}=120\)，且\( \dfrac {1}{a_{4}a_{6}a_{8}}+ \dfrac {1}{a_{2}a_{6}a_{8}}+ \dfrac {1}{a_{2}a_{4}a_{8}}+ \dfrac {1}{a_{2}a_{4}a_{6}}= \dfrac {7}{60}\)，则\(S_{9}\)的值为 ______ ．
              难度：中等
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            • 9．

              设正项等比数列\(\{{a}_{n}\} \)的前\(n \)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(S_{3}=3\)，\(S_{9}-S_{6}=12\)，则\(S_{6}=\)       ．

              难度：易
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            • 10．
              已知\(4a_{n+1}-4a_{n}-9=0\)，则数列\(\{a_{n}\}\)是\((\)　　\()\)
              A．公差为\(9\)的等差数列
              B．公差为\( \dfrac {9}{4}\)的等差数列
              C．公差为\(4\) 的等差数列
              D．不是等差数列
              难度：易
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