已知数\(1\)、\(a\)、\(b\)成等差数列，而\(1\)、\(b\)、\(a\)成等比数列，若\(a{\neq }b\)，则\(a\)的值为\(({  })\)

在\(∆ABC \)中，三个角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)若角\(A\)、\(B\)、\(C\)成等差数列，且边\(a\)、\(b\)、\(c\)成等比数列，则\(∆ABC \)的形状为______ ．

\((2)\)求\(\{b\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式及其前\(n\)项和．

若等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}={{4}^{n+1}}+a\)，则实数\(a\)的取值是\((\)     \()\)．

给出下列四个关于数列命题：

\((1)\)若\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，则三点\(\left( 10,\dfrac{{{S}_{10}}}{10} \right)\)、\(\left( 100,\dfrac{{{S}_{100}}}{100} \right)\)、\(\left( 110,\dfrac{{{S}_{110}}}{110} \right)\)共线；

\((2)\)若\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等比数列，则\({{S}_{m}}\)、\({{S}_{2m}}-{{S}_{m}}\)、\({{S}_{3m}}-{{S}_{2m}}\) \((m\in {{N}^{*}})\)也是等比数列；

\((3)\)等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若对任意的\(n\in {{N}^{*}}\)，点\(\left(n,{S}_{n}\right) \)均在函数\(y={{b}^{x}}+r\) \((b\ne 0,b\ne {1}, b.r\)均为常数\()\)的图象上，则\(r\)的值为\(-{1}\)．

\((4)\)对于数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)，定义数列\(\left\{{a}_{n+1}-{a}_{n}\right\} \)为数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的“差数列”，若\({{a}_{{1}}}{=2}\)，\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的“差数列”的通项为\({{{2}}^{n}}\)，则数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\) \(={{2}^{n+1}}-2\)

其中正确命题的个数是\((\)      \()\)

\((1)\)函数\(f(x)=x(1-x)\)，\(x∈(0,1)\)的最大值为__________．

\((2)\)在数列\(\{a_{n}\}\)中，其前\(n\)项和\(S_{n}=3·2^{n}+k\)，若数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列，则常数\(k\)的值为___________．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中\(A=60^{\circ}\)，\(b=1\)，面积为\(\sqrt{3} \)，则\(\dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}= \)__________．

\((4)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}+{2}^{3}{a}_{3}+...+{2}^{n}{a}_{n}={4}^{n}-1 \)，则\(\{a_{n}\}\)的通项公式_____________。

\((1)\)等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{2}}=9,{{a}_{5}}=33,\)则\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的公差为________

\((2)\)在\(\triangle ABC\)中，若\(a=3\)，\(b= \sqrt{3}\)，\(∠A= \dfrac{π}{3}\)，则\(∠C\)的大小为_______

\((3)\)已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}={{n}^{2}}+2n-1\)，则通项\({{a}_{n}}=\)______

\((4)\)已知数列\(\{{{a}_{n}}\}(n\in {{N}^{*}})\)，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，给出下列四个命题：

\(①\)若\(\{{{a}_{n}}\}\)是等差数列，则三点\((10,\dfrac{{{S}_{10}}}{10})\)、\((100,\dfrac{{{S}_{100}}}{100})\)、\((110,\dfrac{{{S}_{110}}}{110})\)共线；

\(②\)若\(\{{{a}_{n}}\}\)是等差数列，且\({{a}_{1}}=-11\)，\({{a}_{3}}+{{a}_{7}}=-6\)，则\({{S}_{1}}\)、\({{S}_{2}}\)、\(…\)、\({{S}_{n}}\)这\(n\)个数中必然

存在一个最大者；

\(③\)若\(\{{{a}_{n}}\}\)是等比数列，则\({{S}_{m}}\)、\({{S}_{2m}}-{{S}_{m}}\)、\({{S}_{3m}}-{{S}_{2m}}(m\in {{N}^{*}})\)也是等比数列；

\(④\)若\({{S}_{n+1}}={{a}_{1}}+q{{S}_{n}}(\)其中常数\({{a}_{1}}q\ne 0)\)，则\(\{{{a}_{n}}\}\)是等比数列．

其中正确命题的序号是_________ \(.(\)将你认为的正确命题的序号都填上\()\)