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          共50条信息

            • 1．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((2)\)令\(b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)证明：对于任意\(n∈N^{*}\)，都有\(T\;_{n} < \dfrac {5}{64}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2- \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}\)，其中\(n∈N^{*}\)；
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)若\(S_{n}\)是数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\( \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}}\)的值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
              构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 4．
              若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)．
              \((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
              \((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n=1,2,3…)\)，\((a_{n}\neq 0)\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{1}=1\)，点\(P(b_{n},b_{n+1})\)在直线\(x-y+2=0\)上．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项\(a_{n}\)和\(b_{n}\)；
              \((2)\)设\(c_{n}=a_{n}⋅b_{n}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 6．
              设\(S_{n}\)是数列的前\(n\)项和，已知\(a_{1}=3a_{n+1}=2S_{n}+3(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)令\(b_{n}=(2n-1)a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 7．
              设\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\(a_{1}\neq 0,2a_{n}-a_{1}=S_{1}\cdot S_{n},n∈N^{*}\)．
              \((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{na_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              难度：较易
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            • 8．
              已知函数\(f(x)=x^{2}+(a-1)x+b+1\)，当\(x∈[b,a]\)时，函数\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=f(n+1)-1\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 9．
              数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和记为\(S_{n}\)且满足\(S_{n}=2a_{n}-1\)，\(n∈N^{*}\)；
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(T_{n}=a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}-a_{4}a_{5}+…+(-1)^{n+1}a_{n}a_{n+1}\)，求\(\{T_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)设有\(m\)项的数列\(\{b_{n}\}\)是连续的正整数数列，并且满足：\(\lg 2+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{1}})+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{2}})+…+\lg (1+ \dfrac {1}{b_{m}})=\lg (\log _{2}a_{m}).\)
              问数列\(\{b_{n}\}\)最多有几项？并求出这些项的和．
              难度：中等
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            • 10．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {3x}{x+3}\)，数列\(\{x_{n}\}\)的通项由\(x_{n}=f(x_{n-1})(n\geqslant 2\)且\(x∈N^{*})\)确定．
              \((1)\)求证：数列\(( \dfrac {1}{x_{n}})\)是等差数列；
              \((2)\)当\(x_{1}= \dfrac {1}{2}\)时，求\(x_{2017}\)．
              难度：较易
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