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          共50条信息

            • 1．
              数列\(\{a_{n}\}\)中，已知对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}=3^{n}-1\)，则\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+…+a_{n}^{2}=\) ______ ．
              难度：难
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            • 2．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((2)\)令\(b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)证明：对于任意\(n∈N^{*}\)，都有\(T\;_{n} < \dfrac {5}{64}\)．
              难度：较易
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且当\(n\geqslant 2\)时，有\( \dfrac {2a_{n}}{a_{n}S_{n}-S^{2}_{n}}=1\)成立，则\(S_{2017}=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(n)= \begin{cases} \overset{n^{2},n{为奇数}}{-n^{2},n{为偶数}}\end{cases}\)，且\(a_{n}=f(n)+f(n+1)\)，则\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2014}=(\)　　\()\)
              A．\(-2013\)
              B．\(-2014\)
              C．\(2013\)
              D．\(2014\)
              难度：较易
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            • 5．
              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，数列\(\{a_{n}a_{n+1}\}\)是公比为\(2\)的等比数列，则\(S_{10}=(\)　　\()\)
              A．\(1364\)
              B．\( \dfrac {124}{3}\)
              C．\(118\)
              D．\(124\)
              难度：中等
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2- \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}\)，其中\(n∈N^{*}\)；
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)若\(S_{n}\)是数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\( \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}}\)的值．
              难度：较易
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            • 7．

              数列\(\{ a_{n}\}\)中，\(a_{1}{=}1{,}a_{n{+}1}{=}2a_{n}{+}2\)，则\(a_{7}\)的值为\(({  })\)


              A．\(94\)         
              B．\(96\)          
              C．\(190\)         
              D．\(192\)
              难度：易
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            • 8． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且\(a_{n+1}=2a_{n}+1(n∈N^{*})\)
              \((\)Ⅰ\()\)证明数列\(\{a_{n}+1\}\)是等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=\dfrac{n}{{a}_{n}+1} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；

              \((\)Ⅲ\()\)在条件\((\)Ⅱ\()\)下对任意正整数\(n\)，不等式\(S_{n}+\dfrac{n+1}{{2}^{n}} -1 > (-1)^{n}⋅a\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(.\)   

              难度：较难
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            • 9．

              设各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}\)满足\(S\rlap{_{n}}{^{2}}-(n^{2}+n-3)S_{n}-3(n^{2}+n)=0\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)求\(a_{1}\)的值；

              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((3)\)证明：对一切正整数\(n\)，有\( \dfrac{1}{a_{1}(a_{1}+1)}+ \dfrac{1}{a_{2}(a_{2}+1)}+…+ \dfrac{1}{a_{n}(a_{n}+1)} < \dfrac{1}{3}\)．

              难度：难
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            • 10．

              一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图\(①\)，\(②\)，\(③\)，\(④\)分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为\(f(n)\)．



              \((1)\)求出\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；

              \((2)\)利用归纳推理，归纳出\(f(n+1)\)与\(f(n)\)的关系式；

              \((3)\)猜想\(f(n)\)的表达式，并用数学归纳法证明．

              难度：较易
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