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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=0\)，\(a_{2}=1\)，\(a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}\)，则\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=\) ______ ．
              难度：中等
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            • 2． 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}= \dfrac {a^{n+1}-a^{-n-1}}{a-a^{-1}}(n∈N^{*})\)，\(a\neq -1\)，\(0\)，\(1\)，设\(b=a+ \dfrac {1}{a}\)．
              \((1)\)求证：\(a_{n+1}=ba_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)；
              \((2)\)当\(n(n∈N^{*})\)为奇数时，\(a_{n}= \sum\limits_{i=0}^{ \frac {n-1}{2}}(-1)^{i}C \;_{ n-1 }^{ i }b^{n-2i}\)，猜想当\(n(n∈N^{*})\)为偶数时，\(a_{n}\)关于\(b\)的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：难
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            • 3． 已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\( a_{ 1 }= \dfrac {1}{4}\)，\(a_{n}=2- \dfrac {1}{a_{n-1}}(n\geqslant 2,n∈N^{*}).\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}(n∈N^{+})\)．
              \((1)\)证明：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列，并写出\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式及数列\(\{a_{n}\}\)中的最大项与最小项．
              难度：较难
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            • 4．
              记数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=3^{n-1}+a_{n-1}(n\geqslant 2)\)．
              \((1)\)求\(a_{2}\)、\(a_{3}\)的值，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((2)\)证明：\(T_{n}= \dfrac {3\;a_{\;n}-n}{2}\)．
              难度：中等
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            • 5． 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．

              我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数\((\)横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数\().\)比如第一行记为\((0,1)\)，第二行记为\((1,2)\)，第三行记为\((4,5)\)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ______ ，第\(n(n∈N^{*})\)行中白圈与黑圈的“坐标”为 ______ ．
              难度：较易
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(S_{2n}=2a_{n}^{2}+a_{n}\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=2^{a_{n}}\)，求\(b_{1}+b_{3}+b_{5}+…+b_{2n+1}\)．
              难度：难
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            • 7． 已知\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且向量\( \overrightarrow{a}=(-4,n)\)，\( \overrightarrow{b}=(S_{n},n+3)\)垂直．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)数列\(\{ \dfrac {1}{(2a_{n}+1)n}\}\)前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < \dfrac {3}{4}\)．
              难度：较难
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            • 8． 对于数列\(\{a_{n}\}\)，定义数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n∈N^{*})\)，且\(b_{n+1}-b_{n}=1(n∈N*)\)，\(a_{3}=1\)，\(a_{4}=-1\)，则\(a_{1}=\)______．
              难度：较易
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            • 9．
              已知数列：\( \dfrac {1}{1}, \dfrac {2}{1}, \dfrac {1}{2}, \dfrac {3}{1}, \dfrac {2}{2}, \dfrac {1}{3}, \dfrac {4}{1}, \dfrac {3}{2}, \dfrac {2}{3}, \dfrac {1}{4},\;…\)，依它的前\(10\)项的规律，这个数列的第\(2010\)项\(a_{2010}\)满足\((\)　　\()\)
              A．\(0 < a_{2010} < \dfrac {1}{10}\)
              B．\( \dfrac {1}{10}\leqslant a_{2010} < 1\)
              C．\(1\leqslant a_{2010}\leqslant 10\)
              D．\(a_{2010} > 10\)
              难度：中等
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            • 10．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)．

              \((1)\)求证：数列\(\{a_{n}+1\}\)是等比数列；

              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

              难度：较易
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