知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=(-1)^{n}\cdot a_{n}- \dfrac {1}{2^{n}}\)，记\(b_{n}=8a_{2}\cdot 2^{n-1}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，总有\(λb_{n}-1 > 0\)成立，则实数\(λ\)的取值范围为 ______ ．

难度：较易

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2．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，且满足\(a_{n}a_{n+1}=2S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=15\)，\(b_{n+1}-b_{n}=2n\)，则数列\(\{ \dfrac {b_{n}}{a_{n}}\}\)中第 ______ 项最小．

难度：较易

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3．
设\(f(x)=f_{1}(x)= \dfrac {x}{1+x},f_{n}(x)=f_{n-1}[f(x)](n\geqslant 2,n∈N_{+})\)，则\(f(1)+f(2)+…+f(n)+f_{1}(1)+f_{2}(1)+…+f_{n}(1)=\) ______ ．

难度：较易

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4．
已知数列\(\{ \sqrt {a_{n+1}}- \sqrt {a_{n}}\}\)是公差为\(2\)的等差数列，且\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=9\)，则\(a_{n}=\) ______ ．

难度：较易

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5．在数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{4}=1\)，\(a_{12}=5\)，且任意连续三项的和都是\(15\)，则\(a_{2018}=\)______．

难度：较易

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6．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=3^{n}(λ-n)-6\)，若数列\(\{a_{n}\}\)为递减数列，则\(λ\)的取值范围是________．

难度：较难

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7．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,|a_{n}-a_{n-3}|= \dfrac {1}{2^{n}}(n\geqslant 2,n∈N)\)，且\(\{a_{2n-1}\}\)是递减数列，\(\{a_{2n}\}\)是递增数列，则\(5-6a_{10}=\) ______ ．

难度：中等

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8．
设数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}+bn\)，若数列\(\{a_{n}\}\)是单调递增数列，则实数\(b\)的取值范围为 ______ ．

难度：难

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9．
已知\(f(x)= \dfrac {1-x}{1+x}\)，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，对于任意\(n∈N^{*}\)都满足\(a_{n+2}=f(a_{n})\)，且\(a_{n} > 0\)，若\(a_{20}=a_{18}\)，则\(a_{2016}+a_{2017}\)的值为 ______ ．

难度：较易

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10．（2016•上海模拟）先阅读参考材料，再解决此问题：
参考材料：求抛物线弧y=x²（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积
解：把区间[0，2]进行n等分，得n-1个分点A（
2i
n
，0）（i=1，2，3，…，n-1），过分点A_i，作x轴的垂线，交抛物线于B_i，并如图构造n-1个矩形，先求出n-1个矩形的面积和S_n-1，再求
lim
n→∞
S_n-1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为
2
n
，第i个矩形的高为（
2i
n
）²，所以第i个矩形的面积为
2
n
•（
2i
n
）²；
S_n-1=
2
n
[
4•12
n2
+
4•22
n2
+
4•32
n2
+…+
4•(n-1)2
n2
]=
8
n3
[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6

所以封闭图形的面积为
lim
n→∞
8
n3
•
n(n-1)(2n-1)
6
=
8
3

阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式
1-
12
n2
+
1-
22
n2
+
1-
32
n2
+…+
1-
(n-1)2
n2
＜an恒成立，则实数a的取值范围为．

难度：中等

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