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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且\(a_{n+1}=2a_{n}+1(n∈N^{*})\)
              \((\)Ⅰ\()\)证明数列\(\{a_{n}+1\}\)是等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=\dfrac{n}{{a}_{n}+1} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；

              \((\)Ⅲ\()\)在条件\((\)Ⅱ\()\)下对任意正整数\(n\)，不等式\(S_{n}+\dfrac{n+1}{{2}^{n}} -1 > (-1)^{n}⋅a\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(.\)   

              难度：较难
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            • 2．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=c+\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\)，且\(1\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 4\)，则\(c\)的取值范围是___\(.\) 

              难度：难
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            • 3．

              己知数列\(\{a_{n}\}\)满足\({{a}_{n}}=\begin{cases} & (1-3a)n+10a,n\leqslant 6 \\ & {{a}^{n-7}},n < 6 \end{cases}(n∈N^{+})\)，若\(\{a_{n}\}\)是递减数列，则实数\(a\)的取值范围是\((\)    \()\)

              A．\((\dfrac{1}{3},1)\)
              B．\((\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})\)
              C．\((\dfrac{5}{8},1)\)
              D．\((\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{8})\)
              难度：中等
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            • 4． 下面是关于公差\(d > 0\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)的四个命题：
              \((1)\)数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列；\((2)\)数列\(\{na_{n}\}\)是递增数列；
              \((3)\)数列\(\left\{ \dfrac{{a}_{n}}{n}\right\} \)是递减数列；\((4)\)数列\(\{a_{n}+3nd\}\)是递增数列．
              其中的真命题的个数为\((\)　　\()\)
              A．\(0\)              
              B．\(1\)              
              C．\(2\)              
              D．\(3\)
              难度：难
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            • 5．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正整数，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{n+1}=\begin{cases} \dfrac{a_{n}}{2},a_{n}是偶数 \\ 3a_{n}+1,a_{n}是奇数 \end{cases}\)，且\(a_{1}=5\)，则\(S_{2\;015}=\)

              A．\(4 740\)
              B．\(4 725\)
              C．\(12 095\)                       
              D．\(12 002\)
              难度：中等
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            • 6．

              已知各项均为正数的数列\(\{{{a}_{n}}\}\)且满足\({{a}_{1}}=\dfrac{7}{2}\)，\(\{{{a}_{n}}-\dfrac{1}{2}\}\)是公比为\(\dfrac{1}{2}\)的等比数列，\({{S}_{n}}\)为数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和，若对于任意的\(n\in {{N}^{*}}\)，\(\dfrac{12k}{12+n-2{{S}_{n}}}\geqslant 2n-3\)恒成立，则实数\(k\)的取值范围_____________．

              难度：较难
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            • 7．

              已知函数\(f\left(n\right)={n}^{2}\sin \dfrac{nπ}{2} \)，且\({a}_{n}=f\left(n\right)+f\left(n+1\right), \)则\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+……+a_{2018}=\)\(\_\)              

              难度：较难
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            • 8．

              若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}=1- \dfrac{1}{a_{n}}\)，且\(a_{1}=2\)，则\(a_{2018}\)等于\((\)　　\()\)

              A．\(-1\)             
              B．\(2\)            
              C．\( \sqrt{2}\)
              D．\( \dfrac{1}{2}\)
              难度：易
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            • 9．

              设\(f\left( x \right)\)满足\(f\left( n+1 \right)=\dfrac{3f\left( n \right)+n}{3}\left( n\in {{N}^{+}} \right)\)，且\(f\left( 1 \right)=1\)，则\(f\left( 28 \right)=\)__________．

              难度：难
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            • 10．

              把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表\(.\)设\(a_{ij}(i,J∈N*)\)是位于这个三角形数表中从上往下数第\(i\)行、从左往右数第\(j\)个数，如\(a_{42}=8.\)若\(a_{ij}=2009\)，则\(i\)与\(j\)的和为________．

              难度：较难
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