知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和是S_n，且
lim
n→∞
Sn=
1
2
，则首项a₁的取值范围是．

难度：中等

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2．按照如下的规律构造数表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）试写出a_n+1与a_n的递推关系，并据此求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=
a3
a1a2
+
a4
a2a3
+…+
an+2
anan+1
（n∈N^*），求S_n和
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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3．等比数列{a_n}首项为sinα，公比为cosα，若
lim
n→∞
（a₁+a₂+…+a_n）=-
3
，则α= ．

难度：中等

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4．数列{a_n}满足a1=
1
5
，an+an+1=
6
5n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)= ．

难度：中等

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5．已知对任意n∈N^*，向量
dn
=(an+1-
1
4
an ，
a
2
n+1
an
)都是直线y=x的方向向量，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，则
lim
n→∞
Sn= ．

难度：中等

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6．矩阵
1 a12 … a1i … a1n
2 a22 … a2i … a2n
3 a32 … a3i … a3n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
n an2 … ani … ann
中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为S_i，则
lim
n→∞
Sn
n2•2n
= ．

难度：中等

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7．设a_n=
2n-1，1≤n≤2，n∈N
1
3n
，n≥3，n∈N
数列{a_n}的前n项和S_n，则
lim
n→∞
S_n= ．

难度：中等

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8．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a_n}（即项数是无穷项），我们定义
lim
n→∞
S_n（其中S_n是数列{a_n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=
lim
n→∞
S_n=
a1
1-q
，则循环小数0.
•
7
•
2
的分数形式是．

难度：中等

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9．如果数列a₁，
a2
a1
，
a3
a2
，…，
an
an-1
，…是首项为1，公比为
2
的等比数列，bn=
1
log2an
，n≥2，
lim
n→∞
(b2+b3…+bn)= ．

难度：较难

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10．如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n，…的面积分别为G₁，G₂，G₃，…，G_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，
lim
n→∞
Gn
Sn
；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

难度：较难

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