知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有b_n＞0，且S_n²=b₁³+b₂³+…b_n³；数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos2
bnπ
2
）a_n+sin2
bnπ
2
，n∈N^*．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：
a2
a1
+
a4
a3
+
a6
a5
…+
a2n
a2n-1
＜n+
19
12
对一切n∈N⁺成立．

难度：较难

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2．数列{a_n}的通项公式为a_n=n²•cos
2nπ
3
(n∈N*)，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表达式；
（Ⅱ）若b_n=
S3n
n•2n-1
，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=
1
4
S
2
3n+1
-1
，令f（n）=c₁+c₂+…+c_n，求f（n）的取值范围．

难度：较难

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3．已知向量
an
=（cos2nθ，sinnθ），
bn
=（1，2sinnθ）（n∈N^*），若C_n=
an
•
bn
+2ⁿ，
（1）求数列{C_n}的通项公式；
（2）求数列{C_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
、
j
，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①
OA1
=4
j
且
An-1A
n=
i
（n∈N^*，n≥2）；
②
OB1
=
i
+
1
2
j
且
Bn-1Bn
=-
1
n(n+1)
j
(n∈N*，n≥2)．（其中O为坐标原点）
（I）求向量
OAn
及向量
OBn
的坐标；
（II）设an=
OAn
•
OBn
，求a_n的通项公式并求a_n的最小值；
（III）对于（Ⅱ）中的a_n，设数列bn=
sin
nπ
2
cos
(n-1)π
2
(n+1)an-6n+3
，S_n为b_n的前n项和，证明：对所有n∈N^*都有Sn＜
89
48
．

难度：较难

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