知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若向量
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
，得到y=g（x）的图象，当x∈(
π
2
，
7π
4
)时，y=g（x）与y=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．

难度：中等

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2．已知△ABC三个内角满足A、B、C成等差，设x=cos
A-C
2
，f（x）=cosB(
1
cosA
+
1
cosC
)．
（1）求f（x）解析式及定义域；
（2）讨论函数单调性，并证明；
（3）求f（x）值域．

难度：中等

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3．已知
m
=(sinA，cosA)，
n
=(-sinB，cosB)，
m
•
n
=cos2c，且A、B、C分别为a、b、c 三边所对的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且
CA
•(
AB
-
AC
)=18，求a+b的值．

难度：中等

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4．设函数f（x）=2sin（ωx+
π
6
）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按
a
=（
1
3
，-1）平移后得一奇函数，
（Ⅰ）求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n为其前N项的和，求S₂₀₁₀的值．

难度：中等

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5．关于x的方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的两根为α，β，且0＜θ＜2π，若数列1，
1
α
+
1
β
，(
1
α
+
1
β
)2，…，(
1
α
+
1
β
)n的前100项和为0，求θ的值．

难度：中等

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6．设数列{a_n}是首项为0的递增数列，（n∈N），fn(x)=|sin
1
n
(x-an)|，x∈[a_n，a_n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根．
（1）试写出y=f₁（x），并求出a₂；
（2）求a_n+1-a_n，并求出{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n．

难度：较难

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7．（理）已知复数z=
5
2
sin
A+B
2
+icos
A-B
2
，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=
3
2
4
．
（1）求证：tgA•tgB=
1
9
；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求
|MC|
|AB|
的最大值．

难度：较难

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