知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3+2ⁿ ，求a_n ．

难度：中等

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2．定义：二阶行列式 $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20a%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ =ad-bc（a，b，c，d∈R）．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2， $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20a_%7Bn%2B2%7D%20%26%20a_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%20a_%7Bn%2B1%7D%20%26%20a_%7Bn%7D%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ =（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）求证：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）
（Ⅲ）试问该数列任意两个相邻项的平方和仍然是该数列中的一个项吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足a₁=1，（a_n-3）a_n+1-a_n+4=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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4．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1 $%20%5Cfrac%20%7B4n%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：较易

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5．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$s_{n}=32n-n^{2}+1$，
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{a_{n}\}$的前多少项和最大．

难度：难

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6．等差数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和为S_n，且a₃+a₅=a₄+7．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式S_n＜3a_n-2的n的值．

难度：较易

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7．已知正数数列{x_n}满足x₁=
1
2
，x_n+1=
1
1+xn
，n∈N^*．
（1）求x₂，x₄，x₆．
（2）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

难度：中等

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8．在数列{a_n}中，a1=
2
，且对任意n∈N^*，都有an+1=
a
2
n
+2
3
．
（1）计算a₂，a₃，a₄，由此推测{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若bn=(-2)n(an4-an2)(n∈N*)，求无穷数列{b_n}的各项之和与最大项．

难度：中等

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9．
已知数列中，，，求数列的通项公式.

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=
.
2n 1
n2 5
.
（n∈N⁺）
（1）求S_n的最大值；
（2）若b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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