知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，$b_{n}-a_{n}=2^{n}+1$，且$S_{n}+T_{n}=2^{n+1}+n^{2}-2$．
$(1)$求$T_{n}-S_{n}$；
$(2)$求数列$\{ \dfrac {b_{n}}{2^{n}}\}$的前$n$项和$R_{n}$．

难度：较易

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2．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2a_{n}-2^{n}$．
$(1)$证明$\{a_{n+1}-2a_{n}\}$为等比数列；
$(2)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式．

难度：较易

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3．
数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}+5a_{n+1}=36n+18$，$n∈N^{*}$，且$a_{1}=4$．
$(1)$写出$\{a_{n}\}$的前$3$项，并猜想其通项公式；
$(2)$用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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4．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N_{+}).$
$(1)$求$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$的值；
$(2)$是否存在常数$λ$，使得$\{a_{n}+λ\}$为等比数列？若存在，求出$λ$的值和通项公式$a_{n}$，若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{
1
anbn
}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和S_n．

难度：较易

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7．数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+b_n=2n-1，n∈N^*．
（1）若{a_n}的前n项和S_n=2n²-n，求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=k•2^n-1，n∈N^*，数列{b_n}是单调递减数列，求实数k的取值范围．

难度：较易

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8．已知递增的等差数列$\{a_{n}\}$的首项是$1$，$S_{n}$是其前$n$项和，且$ \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+ \dfrac {1}{S_{3}}= \dfrac {3}{2}(n∈N^{*}).$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$；
$(2)$设$b_{n}=a_{n}⋅2^{a_{n}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较易

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9．设数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4an+3
4n
，求数列{b_n}中的最大项的值．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且有S_n+1=kS_n+2 （n∈N^*），a₁=2，a₂=1．
（1）试证明：数列{S_n-4}是等比数列，并求a_n；
（2）∀n∈N^*，不等式
atSn+1-1
atan+1-1
＜
1
2
恒成立，求正整数t的值；
（3）试判断：数列{a_n}中任意两项的和在不在数列{a_n}中？请证明你的判断．

难度：中等

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