知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

设\({S}_{n} \)是数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，且\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}=-{S}_{n}{S}_{n+1} \)，则使\(\dfrac{nS_{n}^{2}}{1+10S_{n}^{2}} \)取得最大值时\(n\)的值为 \((\) \()\)

A．\(2\)

B．\(3\)

C．\(4\)

D．\(5\)

难度：中等

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2．

数列\(1{,}3{,}5{,}7{,}9{,}{…}\)的通项公式为\((\ { }\ )\)

A．\(a_{n}{=}1{-}2n\)

B．\(a_{n}{=}2n{-}1\)

C．\(a_{n}{=}3n{-}1\)

D．\(a_{n}{=}2n{+}1\)

难度：易

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3．

数列\(1\)，\(-3\)，\(5\)，\(-7\)，\(9\)，\(…\)的一个通项公式为\((\)　　\()\)

A．\(a_{n}=2n-1\)

B．\(a_{n}=(-1)^{n}(2n-1)\)

C．\(a_{n}=(-1)^{n+1}(2n-1)\)

D．\(a_{n}=(-1)^{n}(2n+1)\)

难度：易

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4．

在数列\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\)，\(3\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)，\(4\)，\(4\)，\(…\)中，第\(25\)项为( )

A． \(5\)

B． \(6\)

C． \(7\)

D． \(8\)

难度：易

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5．在数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{3a_{n}+1},(n∈N*)\)
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值，并猜想出\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)请用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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6．

设\(0 < θ < \dfrac{π}{2}\)，已知\(a_{1}=2\cos θ\) ， \(a_{n+1} = \sqrt{2+a_{n}}\)，猜想\(a_{n}= (\) \()\)

A．\(2\cos \dfrac{θ}{2^{n}}\)

B．\(2\sin \dfrac{θ}{2^{n}}\)

C．\(2\cos \dfrac{θ}{2^{n-1}}\)

D．\(2\cos \dfrac{θ}{2^{n+1}}\)

难度：中等

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7．

已知\({{a}_{1}}=1,{{a}_{n}}=n({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})(n\in {{N}^{*}})\)，则数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式是 ( )

A．\(2n-1\)

B．\({{(\dfrac{n+1}{n})}^{n-1}}\)

C．\(n\)

D．\({{n}^{2}}\)

难度：较易

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8．
如图甲是第七届国际数学教育大会\((\)简称\(ICME-7\)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中\(O{A}_{1}={A}_{1}{A}_{2}={A}_{2}{A}_{3}=⋯={A}_{7}{A}_{8}=1 \)，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记\(O{A}_{1},O{A}_{2},⋯O{A}_{n},⋯ \)的长度构成数列\(\{{a}_{n}\} \)，则此数列的通项公式为\({a}_{n}= \) ______ ．

难度：中等

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(S_{n}+a_{n}=2n+1(n\geqslant 1\)，且\(n∈N^{*})\)
\((1)\)求出\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；
\((2)\)由\((1)\)猜想出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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10．

数列\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(……\)的一个通项公式是

A．\({{a}_{n}}={{n}^{2}}-(n-1)\)

B．\({{a}_{n}}={{n}^{2}}-1\)

C．\({{a}_{n}}=\dfrac{n(n+1)}{2}\)

D．\({{a}_{n}}=\dfrac{n(n-1)}{2}\)

难度：易

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