知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(A(-1,-2)\)、\(B(2,3)\)、\(C(-2,-1)\)．
\((1)\)求以线段\(AB\)、\(AC\)为邻边的平行四边形两条对角线的长；
\((2)\)设实数\(t\)满足\(( \overrightarrow{AB}-t \overrightarrow{OC})⋅ \overrightarrow{OC}=0\)，求\(t\)的值．

难度：较易

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2．
已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1\)的两个焦点，\(O\)为坐标原点，圆\(O\)是以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆，一直线\(l:y=kx+b\)与圆\(O\)相切并与椭圆交于不同的两点\(A\)，\(B\)，

\((1)\)求\(b\)和\(k\)关系式；

\((2)\)若\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\dfrac{2}{3}\)求直线\(l\)的方程；

\((3)\)当\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=m\)，且满足\(\dfrac{2}{3}\leqslant m\leqslant \dfrac{3}{4}\)时，求\(\triangle AOB\)面积的取值范围。

难度：难

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3．
在平面直角坐标系内，点\(A(0,1)\)，\(B(0,-1)\)，\(C(1,0)\)，点\(P\)满足\( \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=k| \overrightarrow{PC}|^{2}\)．
\((1)\)若\(k=2\)，求点\(P\)的轨迹方程；
\((2)\)当\(k=0\)时，若\(|λ \overrightarrow{AP}+ \overrightarrow{BP}|_{max}=4\)，求实数\(λ\)的值．

难度：较易

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4．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，过点\(K(-1,0)\)的直线\(l\)与\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，点\(A\)关于\(x\)轴的对称点为\(D\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：点\(F\)在直线\(BD\)上；
\((\)Ⅱ\()\)设\( \overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}= \dfrac {8}{9}\)，求\(\triangle BDK\)的内切圆\(M\)的方程．

难度：较难

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5．在\(\triangle ABC\)中，\( \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}\)，\( \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\)，\(AD\)为边\(BC\)的中线，\(G\)为\(\triangle ABC\)的重心，求：向量\( \overrightarrow{AG}\)．

难度：较易

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6．
如图，四棱锥\(P—ABCD\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\(PA⊥BD\)．

\((1)\)证明：\(PD=PB\)；

\((2)\)若\(PD⊥PB\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(PA=AD\)，求二面角\(B—PA—D\)的余弦值．

难度：难

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7．
如图，已知正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，点\(E\)是上底面\(A_{1}C_{1}\)的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
\((1) \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}- \overrightarrow{C_{1}C}\)；
\((2) \dfrac {1}{2} \overrightarrow{AB}- \dfrac {1}{2} \overrightarrow{DA}- \overrightarrow{A_{1}A}\)．

难度：易

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8．
\((\)本小题\(12\)分\()\)如图，在平面直角坐标系\(xoy\)中，锐角\(α\)和钝角\(β\)的终边分别与单位圆交于\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)若点\(A\)的纵坐标是，点\(B\)的纵坐标是，求\(\sin (α+β)\)的值；
\((2)\)若，求的值．

难度：较难

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