已知\(\left| \overrightarrow{OA} \right|=1\)，\(\left| \overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{3}\)，向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)的夹角为\({{90}^{\circ }}\)，点\(C\)   在\(AB\)上，且\(\angle AOC={{30}^{\circ }}.\)设\(\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}(m,n\in R)\)，求\(\dfrac{m}{n}\)的值．

如图，\(O\)，\(A\)，\(B\)三点不共线，\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OB}\)，设\(\overrightarrow{OA}=a\)，\(\overrightarrow{OB}=b\)．

\((2)\)设线段\(AB\)，\(OE\)，\(CD\)的中点分别为\(L\)，\(M\)，\(N\)，试证明\(L\)，\(M\)，\(N\)三点共线．

平面内有一个\(\triangle ABC\)和一点\(O\)，线段\(OA\)，\(OB\)，\(OC\)的中点分别为\(E\)，\(F\)，\(G\)，线段\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)的中点分别为\(L\)，\(M\)，\(N\)，设\(\overrightarrow{{OA}}=a\)，\(\overrightarrow{{OB}}=b\)，\(OC=c\)．

\((1)\) 试用\(a\)，\(b\)，\(c\)表示向量\(\overrightarrow{{EL}}\)，\(\overrightarrow{{FM}}\)，\(\overrightarrow{{GN}};\)

\((2)\) 求证：线段\(EL\)，\(FM\)，\(GN\)交于一点且互相平分．

\((1)①\dfrac{2\sin {{46}^{\circ }}-\sqrt{3}\cos {{74}^{\circ }}}{\cos {{16}^{\circ }}}=\) _________    \(\_\)．

\(②\sin 42{}^\circ \cos 18{}^\circ -\cos 138{}^\circ \cos 72{}^\circ =\)________    __．

\((2)①\)设函数\(f(x)=\begin{cases} & x,x < 1 \\ & {{x}^{3}}-\dfrac{1}{x}+1,x\geqslant 1 \\ \end{cases}\)，则不等式\(f(6-{{x}^{2}}) > f\left( x \right)\)的解集为____       \(\_\)

\(②\)设函数\(f(x)=\begin{cases} & x,x < 1 \\ & {{x}^{3}}-\dfrac{1}{x}+1,x\geqslant 1 \\ \end{cases}\)，则\(f(\dfrac{1}{f(2)}) =\)__________

\((3)①\)将函数\(f(x)=\sin (3x+ \dfrac{π}{4}) \)图像向左平移\(m(m > 0)\)个单位后所对应的函数是偶函数，则\(m\)的最小值是             ．

\(②\)函数\(f(x)=\sin (3x+ \dfrac{π}{4}) \)的最小正周期为              ．

\((4)①\)等腰\(\Delta ABC\)的顶角\(A=\dfrac{2\pi }{3}\)，\(\left| BC \right|=2\sqrt{3}\)，以\(A\)为圆心，\(1\)为半径作圆，\(PQ\)为直径，则\(\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}\)的最大值为\(\_\)___   ______．

\(②\)等腰\(\Delta ABC\)的顶角\(A=\dfrac{2\pi }{3}\)，\(\left| BC \right|=2\sqrt{3}\)，则\(\overrightarrow{BA}\bullet \overrightarrow{AC}=\)_____    _____．

已知非零向量\(a\)，\(b\)不共线 ．

\((1)\)如果\( \overrightarrow{AB}=2a+3b \)，\( \overrightarrow{BC}=6a+23b \)，\( \overrightarrow{CD}=4a-8b \)，求证：\(A\)，\(B\)，\(D\)三点共线\(;\)

\((2)\)已知\( \overrightarrow{AB}=2a+kb \)，\( \overrightarrow{CB}=a+3b \)，\( \overrightarrow{CD}=2a-b \)，若使\(A\)，\(B\)，\(D\)三点共线，试确定实数\(k\)的值．

已知点\(F\)为抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点，点\(P\)是准线\(l\)上的动点，直线\(PF\)交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，若点\(P\)的纵坐标是\(m(m\neq 0)\)，点\(D\)为准线\(l\)与\(x\)轴的交点．

\((1)\)若\(m=2\)，求\(\triangle DAB\)的面积；

\((2)\)设\( \overset{→}{AF} =λ \overset{→}{FB} \)，\( \overset{→}{AP} =μ \overset{→}{PB} \)，求证\(λ+μ\)为定值．

设两个非零向量\(a\)与\(b\)不共线

\((1)\)若\( \overrightarrow{AB} =\)\(a\)\(+\)\(b\)，\( \overrightarrow{BC} =2\)\(a\)\(+8\)\(b\)，\( \overrightarrow{CD} =3(\)\(a\)\(-\)\(b\)\()\)，求证：\(A\)、\(B\)、\(D\)三点共线；

\((2)\)试确定实数\(k\)，使\(ka\)\(+\)\(b\)和\(a\)\(+\)\(kb\)共线．

如图所示，\(P\)，\(Q\)是\(\triangle ABC\)的边\(BC\)上两点，且\(BP=QC.\)求证：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}\)．