已知\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AC}\)的夹角为\(90^{\circ}\)，\(\overrightarrow{|AB|}=2\)，\(\overrightarrow{AC}=1\)，\(\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}(λ,μ∈R)\)，且\(\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0\)，则\(\dfrac{\lambda }{\mu }\)的值为________．

已知\(O\)是\(\triangle ABC\)所在平面内一点，\(D\)为\(BC\)边中点，且\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0\)，那么\(\overrightarrow{AO}\)与\(\overrightarrow{OD}\)的关系是________．

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=1\)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right|=\)_____．

\((2)\)已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(∠MAN=60^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为_____．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB\)边上的中线\(CO=4\)，若动点\(P\)满足\(\overrightarrow{PA}={{\sin }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{OA}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{CA}(\theta \in R)\)，则\((\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot \overrightarrow{PC}\)的最小值是    ．

\((4)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5 cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)．\(D\)，\(E\)，\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形\(.\)沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)，\(E\)，\(F\)重合，得到三棱锥\(.\)当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积\((\)单位：\(cm\)\({\,\!}^{3}\)\()\)的最大值为_____．