知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知在△ABC中，A（2，4），B（-1，-2），C（4，3），BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求向量
AD
．

难度：较易

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2．设向量
a
=（1，-3），
b
=（-2，4），
c
=（-1，-2），若表示向量4
a
，4
b
-2
c
，2（
a
-
c
），
d
的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量
d
的坐标是．

难度：较易

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3．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若|
OA
+
OC
|=
2+
3
（O为坐标原点），求
OB
与
OC
的夹角；
（Ⅱ）若
AC
⊥
BC
，求3sinα-cosα的值．

难度：中等

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4．已知向量
a
=(3，1)，
b
=(1，3)，
c
=(k，7)，若(
a
-
c
)∥
b
，则k= ．

难度：中等

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5．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量
a
是与向量
AB
垂直的单位向量．
（1）求单位向量
a
的坐标；
（2）求向量
AC
在向量
a
上的投影；
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求
QB
•
QC
的最小值．

难度：中等

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7．设向量
a
=(m，n)，
b
=(s，t)，定义两个向量
a
，
b
之间的运算“⊗”为
a
⊗
b
=(ms，nt)，若向量
p
=(1，2)，
p
⊗
q
=(-3，-4)，则向量
q
= ．

难度：较易

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8．已知向量
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=(1， 2)．
（1）若|
c
|=2
5
，且向量
c
与向量
a
反向，求
c
的坐标；
（2）若|
b
|=
5
2
，且(
a
+2
b
)•(2
a
-
b
)=
15
4
，求
a
与
b
的夹角θ．

难度：中等

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9．定义一种新运算：a⊗b=
b，(a≥b)
a，(a＜b)
，已知函数f(x)=
4
x
⊗(1+log2x)(x＞0)，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为．

难度：中等

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10．若
a
=(1，3)，
b
=(x，6)，且
a
∥
b
，则x= ．

难度：中等

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