已知椭圆\({C}_{1}\;:\; \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \) 经过点\(M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) \)，且其右焦点与抛物线\({C}_{2}\;:\;{y}^{2}=4x \)的焦点\(F\)重合，过点\(F\)且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点．

\((1)\)求椭圆\({C}_{1} \)的方程；

\((2)\)设\(O\)为坐标原点，线段\(OF\)上是否存在点\(N\left(n,0\right) \)，使得\( \overrightarrow{QP}· \overrightarrow{NP}= \overrightarrow{PQ}· \overrightarrow{NQ} \)？若存在，求出\(n\)的取值范围；若不存在，说明理由；

\((3)\)过点\({P}_{0}\left(4,0\right) \)且不垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，点\(B\)关于\(x\)轴的对称点为\(E\)，试证明：直线\(AE\)过定点．

如图所示，设 \(M\)， \(N\)， \(P\)是\(\triangle \) \(ABC\)三边上的点，且\( \overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC} \)，\( \overrightarrow{CN} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{CA} \)，\( \overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB} \)，若\( \overrightarrow{AB} =\) \(a\)，\( \overrightarrow{AC} =\) \(b\)，试用 \(a\)， \(b\)将\( \overrightarrow{MN} \)，\( \overrightarrow{NP} \)，\( \overrightarrow{PM} \)表示出来．

\((1)\)证明：\(a\)，\(b\)可以作为一组基底；

\((2)\)以\(a\)，\(b\)为基底，求向量\(c\)\(=3\)\(e\)\({\,\!}_{1}-\)\(e\)\({\,\!}_{2}\)的分解式；

\((3)\)若 \(4\)\(e\)\({\,\!}_{1}-3\)\(e\)\({\,\!}_{2}=\)\(λa\)\(+\)\(μb\)，求\(λ\)，\(μ\)的值．

在直角坐标系\(XOY\)中，已知点\(A(1,1)\)，\(B(3,3)\)，点\(C\)在第二象限，且\(\triangle ABC\)是以\(\angle BAC\)为直角的等腰直角三角形，点\(P(x,y)\)在\(\triangle ABC\)三边围成的区域内\((\)含边界\()\)。

\((1)\)若\( \overset{→}{PA}+ \overset{→}{PB}+ \overset{→}{PC}= \overset{→}{0},求| \overset{→}{OP}| \) \(;\)

\((2)\)设\(\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}(m,n\in R)\) ，求\(m+2n\)的最大值。

\((\)本小题满分\(12\)分\()\)

平面内给定三个向量\( \overrightarrow{a}=(3,2)\)，\( \overrightarrow{b}=(-1,2)\)，\( \overrightarrow{c}=(4,1)\)
\((1)\)求\(3 \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}\)；
\((2)\)求满足\( \overrightarrow{a}=m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c}\)的实数\(m\)、\(n\)．

在直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(1,1)\)，\(B(2,3)\)，\(C(3,2)\)，

\((1)\)若\( \overrightarrow{PA}+ \overrightarrow{PB}+ \overrightarrow{PC}= \overrightarrow{0} \)，求\(\overrightarrow{OP}\)的坐标．

\((2)\)若\(\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}(m,n\in R)\)，且点\(P\)在函数\(y=x+1\)的图象上，试求\(m-n\)．

如图，在\(\triangle OAB\)中，已知\(P\)为线段\(AB\)上的一点，且\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)．

​

\((1)\)若\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}\)，求\(x\)，\(y\)的值；

\((2)\)若\(\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}\)，\(|\overrightarrow{OA}|=4\)，\(|\overrightarrow{OB}|=2\)，且\(\overrightarrow{OA}\)与\(\overrightarrow{OB}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，求\(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}\)的值．