知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A（x₀，0），B（0，y₀）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足
OP
=2
OA
+
3
OB
．
（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l₁与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线l₂：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l₂，使△ABE的面积为2
3
？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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2．已知向量
a
=（sinθ，cosθ）（θ∈R），
b
=（1，
3
）．
（1）当θ为何值时，向量
a
+
b
，
b
不能作为平面向量的一组基底；
（2）求
a
+
b
在
b
上的投影的最大值；
（3）求|
a
-2
b
|的取值范围．

难度：中等

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3．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0）、B（0，-2
2
），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究
PD
•
PE
是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

难度：较难

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4．有下列叙述：
①集合{x∈N|x=
6
a
，a∈N *}中只有四个元素；
②y=tanx在其定义域内为增函数；
③已知α=-6，则角α的终边落在第四象限；
④平面上有四个互异的点A、B、C、D，且点A、B、C不共线，已知(
DB
+
DC
-2
DA
)•(
AB
-
AC
)=0，则△ABC是等腰三角形；
⑤若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]．
其中所有正确叙述的序号是．

难度：较难

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5．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC²-2AC+AB²=0，则
BC
•
AO
的范围是．

难度：较难

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6．已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
（I）求与
a
平行的单位向量
c
；
（II）设
x
=
a
+(t2+3)
b
，
y
=-k•t
a
+
b
，若存在t∈[0，2]使得
x
⊥
y
成立，求k的取值范围．

难度：中等

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