设\( \overrightarrow{a}=\left(\cos α,\left(λ-1\right)\sin α\right), \overrightarrow{b}=\left(\cos β,\sin β\right),\left(λ > 0,0 < α < β < \dfrac{π}{2}\right) \)是平面上的两个向量， 若向量\( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} \)与\( \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} \)互相垂直．

\((\)Ⅰ\()\) 求实数\(λ \)的值\(;\)

\((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{a}· \overrightarrow{b}= \dfrac{4}{5} \)， 且\(\tan β= \dfrac{4}{3} \)， 求\(\tan \alpha \)的值．

已知\(\left| \overrightarrow{OA} \right|=1\)，\(\left| \overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{3}\)，向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)的夹角为\({{90}^{\circ }}\)，点\(C\)   在\(AB\)上，且\(\angle AOC={{30}^{\circ }}.\)设\(\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}(m,n\in R)\)，求\(\dfrac{m}{n}\)的值．

\((3)\)若\(a⊥b\)，且存在不等于零的实数\(k\)，\(t\)使得\([a+(t\)\({\,\!}^{2}\)\(-3)b]⊥(-ka+tb)\)，试求\( \dfrac{k+t^{2}}{t}\)的最小值．

已知两个不共线的向量\(\overrightarrow{a}\) ，\(\overrightarrow{b}\) 的夹角为\(θ\)，且\(|\overrightarrow{a}|=3\) ，\(|\overrightarrow{b}|=1\) ，\(x\)为正实数．

\((1)\)若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) 与\(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\) 垂直，求\(\tan θ\)；

\((2)\)若\(\theta =\dfrac{\pi }{6}\) ，求\(|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) 的最小值及对应的\(x\)的值，并指出向量\(\overrightarrow{a}\) 与\(x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) 的位置关系；

\((3)\)若\(θ\)为锐角，对于正实数\(m\)，关于\(x\)的方程\(|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|m\overrightarrow{a}|\) 有两个不同的正实数解，且\(x\neq m\)，求\(m\)的取值范围．

\((\)Ⅱ\()\)直线\(AB\)过定点．

已知向量\(\overrightarrow{a}{=}(\cos\alpha{,}1){,}\overrightarrow{b}{=}({-}2{,}\sin\alpha){,}\alpha{∈}(\pi{,}\dfrac{3\pi}{2})\)，且\(\overrightarrow{a}{⊥}\overrightarrow{b}(1)\)
\((1)\)求\(\sin\alpha\)的值；
\((2)\)求\(\tan(\alpha{+}\dfrac{\pi}{4})\)的值．

已知两个不共线的向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，它们的夹角为\(θ\)，且\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow{b}|=1\)，\(x\)为正实数．

\((1)\)若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\)垂直，求\(\tan θ\)；

\((2)\)若\(\theta -\dfrac{\pi }{6}\)，求\(|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\)的最小值及对应的\(x\)的值，并判断此时向量\(\overrightarrow{a}\)与向量\(x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)是否垂直？

已知向量\(\overrightarrow{m}=(\cos \alpha ,-1)\)，\(\overrightarrow{n}=(2,\sin \alpha )\)，其中\(\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，且\(\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{n}\)．

\((1)\)求\(\cos 2\alpha \)的值；

\((2)\)若\(\sin (\alpha -\beta )=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)，且\(\beta \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，求角\(\beta \)．