知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．设
a
=(
2
，m)（m＞0），
b
=(sinx，cosx)，且函数f(x)=
a
•
b
的最大值为2．
（1）求m与函数f（x）的最小正周期；
（2）△A BC中，f(A-
π
4
)+f(B-
π
4
)=12
2
sinAsinB，角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=
π
3
，c=
6
，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（c-
2
a）
BA
•
BC
=c
AC
•
CB
．
（1）求角B的大小；
（2）若|
BA
-
BC
|=
3
，求△ABC面积的最大值．

难度：较难

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3．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设
OC
=λ
OA
+μ
OB
．
（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1
（2）若
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量a _i（i=1，2，3，4）满足条件：|a_i|=1（i=1，2，3，4）且a_i•a_i+1=0（i=1，2，3），则（　　）

A．a₁+a₂+a₃+a₄=0

B．|a₁+a₂+a₃+a₄|=2或2

2

C．a_i（i=1，2，3，4）中任意两个都是一对单位正交向量

D．a₁，a₄是一对单位正交向量

难度：较难

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5．已知圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，
（1）求圆M的方程；
（2）若过点（-2，2）的直线被圆M所截得得弦长为2
3
，求该直线的方程；
（3）若P为直线3x+4y+8=0上的动点，过P做圆M的切线，切点为A，B，求当
|PA|
的最小值，并求此时
PA
•
PB
的值．

难度：较难

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6．设向量
m
=（sin2ωx，cos2ωx），
n
=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜
π
2
，ω＞0，函数f（x）=
m
•
n
的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P(
π
6
，1)，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(
5π
12
，0)．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=-1，
CA
•
CB
=-
3
2
，且a+b=2
3
，求边长c．

难度：中等

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7．已知向量

a

、

b

、

c

满足|

a

-

b

|=|

b

|=1，（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，若对每一确定的

b

，|

c

|的最大值和最小值分别为m、n，则对任意a，m-n的值（　　）

A．随|

a

|增大而增大

B．随|

a

|增大而减小

C．是2

D．是1

难度：较难

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8．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，0)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=(
ex
2
，0)，
a2
=(
e-x
2
，0)，求证：
|
a1
|²+|
a2
|²+|
a3
|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

难度：较难

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9．在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，-sinx），X∈R，
（Ⅰ）求|AB|的最小值；
（Ⅱ）设f(x)=
OA
•
OB
，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心．

难度：中等

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10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若
AB
•
AD
=m
AB
•
AC

（1）当m=2时，求cosA的值；
（2）当
a
b
∈(1，
2
3
3
)时，求实数m的取值范围．

难度：中等

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