知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知不等式 e^x≥x+1，对任意的x∈R恒成立．现有以下命题：
①对∀x∈R，不等式e^-x＞1-x恒成立；
②对∀x∈（0，+∞），不等式ln（x+1）＜x恒成立；
③对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式lnx＜x-1恒成立；
④对∀x∈（0，+∞），且x≠1，不等式
lnx
x+1
+
1
x
＞
lnx
x-1
恒成立．
其中真命题的有（写出所有真命题的序号）．

难度：中等

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2．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值；
（Ⅱ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两正根，且q＜
1
a
，证明：当x∈（0，P）时，f（x）＜p-a．

难度：较难

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4．下列正确结论的序号是．
①命题∀x∈R，x²+x+1＞0的否定是：∃x∈R，x²+x+1＜0．
②命题“若ab=0，则a=0，或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”．
③已知线性回归方程是
y
=3+2x，则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7．
④若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜
1
4
成立的概率是
π
4
．

难度：较难

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5．下列命题：
①命题p：∃x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式sinα+sin(
2
3
π+α)+sin(
4
3
π+α)的值与角α有关；
③将函数f(x)=3sin(2x-
π
3
)的图象向左平移
π
3
个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列a_n满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S₂₀₁₁=m；其中正确的命题的序号是（把所有正确的命题序号写在横线上）．

难度：中等

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6．给出下列命题：
①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|成立的充要条件是x＞1；
②已知函数f(x)=
acosx，x≥0
x2-1，x＜0
在x=0处连续，则a=-1；
③当x∈[0，1]时，不等式sin
πx
2
≥kx恒成立，则实数k的取值范围是[0，1]；
④将函数y=tan(ωx+
π
4
)(ω＞0)的图象按向量
a
=(
π
6
，0)平移后，与函数y=tan(ωx+
π
6
)的图象重合，则ω的最小值为
1
6
．
你认为正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）

难度：较难

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7．给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③已知直线l₁：ax+2y-1=0，l₁：x+by+2=0，则l₁⊥l₂的充要条件是
a
b
=-2；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）

难度：中等

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8．下面命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①∀x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，则f（2）的值用二进制表示为111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，则
b
a
≤
b+m
a+m
；④函数y=xlnx与y=
lnx
x
在点（1，0）处的切线相同．

难度：较难

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9．已知命题p：∀x∈R，x²-x+1＞0，则命题￢p 是．

难度：中等

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