观察以下\(3\)个等式：

\(\dfrac{1}{1\times 3}=\dfrac{1}{2\times 1+1}\)   ，

\(\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}=\dfrac{2}{2\times 2+1}\)，

\(\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}=\dfrac{3}{2\times 3+1}\)，

\(\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \)

\((1)\)照以上式子规律，猜想第\(n\)个等式\((n∈N^{*})\)；

\((2)\)用数学归纳法证明上述所猜想的第\(n\)个等式成立\((n∈N^{*}).\)

\((1)\)若椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e=\dfrac{1}{4}\)，右焦点为\(F(c,0)\)，方程\(ax^{2}+2bx+c=0\)的两个实数根分别是\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，则点\(P(x_{1},x_{2})\)到原点的距离为________．

\((2)\)已知点\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)均在球\(O\)上，\(AB=BC=\sqrt{6}\)，\(AC=2\sqrt{3}\)，若三棱锥\(D-ABC\)体积的最大值为\(3\)，则球\(O\)的表面积为________。

\((3)\)设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{5}\)，\(S_{10}-S_{5}\)，\(S_{15}-S_{10}\)，\(S_{20}-S_{15}\)成等差数列。类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项积为\(T\)，则________，________，________，________成等比数列．

\((4)\)设函数\(f(x)\)是定义在\((-∞,0)\)上的可导函数，其导函数为\(f{{'}}(x)\)，且有\(3f(x)+xf{{'}}(x) > 0\)，则不等式\((x+2015)^{3}f(x+2015)+27f(-3) > 0\)的解集为________．

\((1)\)抛物线\(y=x-x^{2}\)与\(x\)轴所围成图形的面积为________．

\((2)\)将编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)的四个小球放入\(3\)个不同的盒子中，每个盒子里至少放\(1\)个，则恰有\(1\)个盒子有\(2\)个连号小球的所有不同放法有________种\(.(\)用数字作答\()\)

\((3)\)观察下列式子：\(\sqrt{1\times 2} < 2\)，

\(\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2\times 3} < \dfrac{9}{2}\)

\(\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2\times 3}+\sqrt{3\times 4} < 8\)，

\(\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2\times 3}+\sqrt{3\times 4}+\sqrt{4\times 5} < \dfrac{25}{2}\)，

\(……\)

根据以上规律，第\(n\)个不等式是________．

\((4)\)设函数\(f{{'}}(x)\)是奇函数\(f(x)(x∈R)\)的导函数，\(f(-1)=0\)，当\(x > 0\)时，\(xf{{'}}(x)-f(x) < 0\)，则使得\(f(x) > 0\)成立的\(x\)的取值范围是________．