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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

              \((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

              难度：较难
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            • 2．

              如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，设\(a\)，\(b\)，\(c\)分别表示三条边的长度，由勾股定理，得\(c^{2}=a^{2}+b^{2}.\)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

              难度：中等
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            • 3．

              一个平面用\(n\)条直线去划分，最多将平面分成\(f(n)\)个部分．

              \((1)\) 求\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)的值\(;\)

              \((2)\) 观察\(f(2)-f(1)\)，\(f(3)-f(2)\)，\(f(4)-f(3)\)，有何规律\(?\)

              \((3)\) 求\(f(n)\)．

              难度：中等
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            • 4．

              先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知\(a_{1}\)，\(a_{2}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}=1\)，求证：\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}.\)证明：构造函数\(f(x)=(x-{a}_{1}{)}^{2} +(x-a_{2})^{2}\)，则\(f(x)=2x^{2}-2(a_{1}+a_{2})×a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}=2x^{2}-2x+a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\)，因为对一切\(x∈R\)，恒有\(f(x)\geqslant 0.\)所以\(\triangle =4-8(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2})\leqslant 0\)，从而得\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\)．

              \((1)\)若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=1\)，请写出上述结论的推广式；

              \((2)\)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

              难度：中等
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            • 5．

              已知在\(Rt\triangle ABC\)中，\(AB⊥AC\)，\(AD⊥BC\)于\(D\)，有\( \dfrac{1}{A{D}^{2}}= \dfrac{1}{A{B}^{2}}+ \dfrac{1}{A{C}^{2}} \)成立\(.\)那么在四面体\(A—BCD\)中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．

               


              难度：中等
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            • 6．

              设平面上\(n\)个圆周最多把平面分成\(f(n)\)片\((\)平面区域\()\)，则\(f(2)=\)________，\(f(n)=\)________\((n\geqslant 1,n∈N^{*}).\)

              难度：中等
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            • 7． 已知函数\(f(x){=}\dfrac{x^{2}}{1{+}x^{2}}\)．
              \((1)\)分别求\(f(2){+}f(\dfrac{1}{2}){,}f(3){+}f(\dfrac{1}{3}){,}f(4){+}f(\dfrac{1}{4})\)的值，并归纳猜想一般性结论\((\)不要求证明\()\)；
              \((2)\)求值：\(2f(2){+}2f(3){+…+}2f(2017){+}f(\dfrac{1}{2}){+}f(\dfrac{1}{3}){+…}f(\dfrac{1}{2017}){+}\dfrac{1}{2^{2}}f(2){+}\dfrac{1}{3^{2}}f(3){+…+}\dfrac{1}{2017^{2}}{⋅}f(2017)\)．
              难度：较易
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            • 8． \((1)\)已知函数\(f(x)=\dfrac{ax+1}{x+2}\)在\((-2,+\infty )\)内单调递减，求实数\(a\)的取值范围是                     

              \((2)\)\(\int_{1}^{e}{({{2}^{x}}-\dfrac{e}{x}})dx =\)                

              \((3)\)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字\(1\)出现在第\(1\)行\(;\)数字\(2,3\)出现在第\(2\)行\(;\)数字\(6,5,4(\)从左至右\()\)出现在第\(3\)行\(;\)数字\(7,8,9,10\)出现在第\(4\)行，依此类推，則第\(20\)行从左至右的第\(4\)个数字应是      ．


              \((4)\)已知是定义在\(R\)上的函数，且满足\(①f(4)=0\)；\(②\)曲线\(y=f(x+1)\)关于点\((-1,0)\)对称；\(③\)当\(x\in (-4,0)\)时，\(f(x)={{\log }_{2}}(\dfrac{x}{{{e}^{|x|}}}+{{e}^{x}}-m+1)\)，若\(y=f(x)\)在\(x\in [-4,4]\)上有\(5\)个零点，则实数\(m\)的取值范围为         ．

              难度：中等
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            • 9． 已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，且\(a_{n}\neq 0\)，公差\(d\neq 0\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\( \dfrac { C_{ 2 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 2 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 2 }^{ 2 }}{a_{3}}= \dfrac {2d^{2}}{a_{1}a_{2}a_{3}}\)
              \((\)Ⅱ\()\)根据下面几个等式：\( \dfrac {1}{a_{1}}- \dfrac {1}{a_{2}}= \dfrac {d}{a_{1}a_{2}}\)；\( \dfrac { C_{ 2 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 2 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 2 }^{ 2 }}{a_{3}}= \dfrac {2d^{2}}{a_{1}a_{2}a_{3}}\)；\( \dfrac { C_{ 3 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 3 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 3 }^{ 2 }}{a_{3}}- \dfrac { C_{ 3 }^{ 3 }}{a_{4}}= \dfrac {6d^{3}}{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\)

              ；\( \dfrac { C_{ 4 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 4 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 4 }^{ 2 }}{a_{3}}- \dfrac { C_{ 4 }^{ 3 }}{a_{4}}+ \dfrac { C_{ 4 }^{ 4 }}{a_{5}}= \dfrac {24d^{4}}{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}\)，\(…\)
              试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 10．

              求下列数列的一个通项公式：

              \((1)3\)，\(5\)，\(9\)，\(17\)，\(33\)，\(...\)，

              \((2)1,0,- \dfrac{1}{3},0, \dfrac{1}{5},0,- \dfrac{1}{7},0,..., \)

              \((3) \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{15}, \dfrac{6}{35}, \dfrac{8}{63}, \dfrac{10}{,99},..., \)

              \((4)1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(15\)，\(21\)，\(...\)，

              难度：中等
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